В декартовых координатах

Требуется вычислить двойной интеграл , от непрерывной функции .

Предположим сперва, что область интегрирования σ ограниченна двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми x=a, x=b, причем для всех значений x, заключенных между a и b, имеет место неравенство .

Проведем через точку (x; 0) оси 0x прямую, параллельную оси 0y. эта прямая встречает кривые, ограничивающие область σ, соответственно в очках и . Точку будем называть точкой входа, а точку – точкой выхода. Их координаты обозначим соответственно и . Ордината точки выхода равна , а ордината точки выхода равна . Известно что двойной интеграл численно равен V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности , которая проектируется в площадку σ (см. рис.2):

Рис. 2

или , (3)

или (4)

Это и есть искомая формула.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если областью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y= (см. рис.3).

Рис. 3

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (3), то здесь

(x)=0,

(так как точка входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой

); a=0, b=2.

Поэтому, применяя формулу (3),

имеем

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно, .

Применяя для вычисления двойного интеграла формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае (так как точка входа лежит на прямой или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, получим .