Двойной интеграл – основные понятия и определения

Содержание

Двойной интеграл – основные понятия и определения……………….2

Свойства двойных интегралов…………………………………………...5

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах……….8

Вычисление объема тела…………………………………………………..10

Литература…………………………………………………………………..12

Двойной интеграл – основные понятия и определения

Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

 

Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f (x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:

.

Определение двойного интеграла:

Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds = dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде .

В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f (x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е. . Тогда объем цилиндрического тела . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину

.

Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D

.

 

Физический смысл двойного интеграла:

Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ (x, y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке мало

отличается от значений и масса площадки . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D .

 

Простейшие свойства двойного интеграла.

Эти свойства используются для вычисления двойного интеграла и аналогичны свойствам определенного интеграла. Пусть и и с – const. Тогда:

 

1. .

2.

3. Если область D разбить линией на две области и , такие, что ,а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то .