Закон всесвітнього тяжіння у скалярній формі
, (1.87)
де — маси матеріальних точок; — відстань між ними; = 6,67*10-11Нм2/кг2— гравітаційна стала.
Закон всесвітнього тяжіння у векторній формі
, (1.88)
де — сила, що діє на першу матеріальну точку з боку другої; — радіус-вектор, що з’єднує другу точку з першою.
Третій закон Кеплера
, (1.89)
де — великі півосі еліптичних орбіт планет навколо Сонця; — періоди обертання цих планет.
Напруженість гравітаційного поля тіла масою
, (1.90)
де - маса пробного тіла.
Потенціал гравітаційного поля в даній точці
. (1.91)
Зв’язок між напруженістю і потенціалом гравітаційного поля
. (1.92)
Основне рівняння руху матеріальної точки змінної маси (рівняння Мещерського)
, (1.93)
де — рівнодійна зовнішніх сил, що діють на тіло змінної маси ; — швидкість від'єднання (приєднання) частинок тіла (ця швидкість відраховується відносно самого тіла).
Швидкість руху ракети вертикально вгору, коли дії зовнішніх сил немає, визначається за формулою Ціолковського:
. (1.94)
Якщо в початковий момент часу швидкість ракети , то
, (1.95)
де — початкова (стартова) маса ракети; — маса ракети в даний момент часу. Якщо паливо згоряє повністю, то — маса конструкції ракети.
§ 7. МЕХАНІКА РІДИН 1 ГАЗІВ
Рівняння нерозривності течії стаціонарного потоку ідеальної рідини
, (1.96)
де — швидкість рідини; — площа поперечного перерізу трубки течії.
Робота сил зовнішнього тиску по переміщенню рідині об’ємом
. (1.97)
Рівняння Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини
, (1.98)
де — густина рідини; — зовнішній тиск; — висота перерізу трубки течії над певним рівнем.
Швидкість витікання ідеальної рідини через малий отвір в широкій посудині (формула Торрічеллі)
, (1.99)
де — висота стовпа рідини над отвором.
Лобовий опір тіла, що знаходиться в ламінарному потоці в'язкої рідини,
, (1.100)
де — коефіцієнт, що залежить від форми і розмірів тіла; — динамічна в'язкість;
— швидкість течії.
При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла) сила опору описується законом Стокса:
, (1.101)
де — радіус кулі.
Розподіл швидкості ламінарної течії рідини у циліндричній трубі радіуса
, (1.102)
де - довжина трубки; - відстань від осі трубки.
При ламінарній течії через трубку довжиною і радіуса за час проходить об'єм рідини . Цей об'єм визначається за формулою Пуазейля:
, (1.103)
де -- різниця тиску на кінцях трубки.
У випадку турбулентного потоку при не дуже великих швидкостях течії лобовий
опір
, (1.104)
де — коефіцієнт лобового опору, який залежить від форми тіла і числа Рейнольдса; —площа міделя (площа проекції тіла на площину, перпендикулярну до швидкості потоку); — густина середовища.
Число Рейнольдса
, (1.105)
де —характеристичний розмір (величина, що характеризує лінійні розміри тіла).
§ 8. ЕЛЕМЕНТИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
Перетворення Лоренца:
(1.106)
(1.107)
, (1.108)
де — швидкість відносного руху інерціальних систем відліку; с — швидкість світла у вакуумі; . (1.109)
Тривалість події в рухомій системі відліку , (1.110)
де — тривалість події в нерухомій системі відліку.
Скорочення довжини рухомого тіла
, (1.111)
де — довжина рухомого тіла; — власна довжина тіла.
Релятивістський закон додавання швидкостей
, (1.112)
де — швидкість тіла в нерухомій системі (абсолютна швидкість); — швидкість тіла в рухомій системі (відносна швидкість).
Релятивістська маса і імпульс такі:
, (1.113)
де — швидкість тіла у вибраній системі відліку; — маса тіла в нерухомому стані у вибраній системі відліку (маса спокою).
Другий закон Ньютона в релятивістській формі:
. (1.114)
Кінетична енергія тіла
, (1.115)
або якщо ввести релятивістську масу
(1.116)
Повна релятивістська енергія
(1.117)
§ 9-11. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ
Рівняння вільних незатухаючих коливань і його розв'язок
, (1.118)
де — зміщення; — амплітуда; — власна частота коливань; — початкова фаза.
Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання,
(1.119)
. (1.120)
Рівняння затухаючих коливань і його розв'язок
(1.121)
(1.122)
де — коефіцієнт затухання; - коефіцієнт опору середовища; - маса тіла; — циклічна частота коливань; - частота незатухаючих коливань; — амплітуда затухаючих коливань.
Логарифмічний декремент затухання
. (1.123)
Добротність
. (1.124)
Рівняння вимушених коливань і його частинний розв'язок
; (1.125)
,
де - — амплітуда коливань; - початкова фаза; — зовнішня сила.
Резонансні значення циклічної частоти і амплітуди
. (1.126)
Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Амплітуда результуючого коливання
. (1.127)
Початкова фаза результуючого коливання
. (1.128)
Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях,
(1.129)
а) , якщо різниця фаз ;
б) , якщо ;
в) , якщо .
Період малих коливань математичного маятника
, (1.130)
де - довжина маятника; - прискорення вільного падіння.
Період коливань тіла, підвішеного на пружині,
, (1.131)
де — маса тіла; — жорсткість пружини.
Період малих коливань фізичного маятника
, (1.132)
де = зведена довжина фізичного маятника; —момент інерції маятника відносно осі коливання; — маса маятника; — відстань від центра мас до осі коливання.
Повна енергія матеріальної точки масою , яка здійснює гармонічні коливання
. (1.133)
Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі
, (1.134)
де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; — період; — хвильове число.
Швидкість поширення поздовжніх хвиль у пружному середовищі
, (1.135)
де — модуль Юнга; — густина середовища.
Швидкість поширення поперечних хвиль
, (1.136)
де — модуль зсуву.
Кінетична енергія хвильового руху в об'ємі
. (1.137)
Потенціальна енергія хвильового руху
. (1.138)
Повна енергія хвильового руху
. (1.139)
Середнє значення об'ємної густини енергії за часом
. (1.140)
Потік енергії хвилі
, (1.141)
де — поверхня, через яку переноситься енергія хвилі; — швидкість хвилі.
Середнє значення густини потоку енергії хвилі (вектор Умова)
. (1.142)
Рівень гучності звуку, дБ,
, (1.143)
де — інтенсивність звуку певної частоти; — інтенсивність на порозі чутності.
Ефект Доплера
, (1.144)
де — швидкість поширення звуку; — швидкість руху приймача; — швидкість руху джерела звуку; — частота від джерела. Верхні знаки беруться при зближенні джерела і приймача, нижні — при їх віддаленні.
§ 12, 13. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ РЕЧОВИНИ. СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ТА ЯВИЩА ПЕРЕНОСУ В ГАЗАХ
Атомна одиниця маси кг. Відносна молекулярна маса, або відносна маса молекули
, (1.145)
де — абсолютне значення маси молекули, кг.
Відносна молекулярна маса речовини
, (1.146)
де — кількість атомів хімічного елемента, що входить до складу молекули даної речовини; — відносна атомна маса цього елемента (відносні атомні маси наведено в таблиці Менделєєва).
В одному молі довільної речовини міститься однакова кількість структурних елементів (стала Авогадро): == 6,02. 1023 моль-1.
Молярна маса (кг/моль). Кількість молів речовини
, (1.147)
де — кількість структурних елементів (молекул) речовини, — маса речовини.
Кількість молів суміші речовин
.
Основне рівняння кінетичної теорії газів
, (1.148)
де —тиск газу; — концентрація молекул; — середня кінетична енергія поступального руху молекули.
Середня енергія молекули
, (1.149)
де Дж/К — стала Больцмана; — термодинамічна температура газу.
Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури
. (1.150)
Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва — Клапейрона)
, (1.151)
де =8,31 Дж/(моль•К) — універсальна газова стала.
Тиск суміші газів (закон Дальтона)
, (1.152)
— парціальний тиск -ї компоненти суміші; — число компонентів.
Молярна маса суміші газів
, (1.153)
де — маса компоненти суміші; — кількість молів -ї компоненти
суміші.
Середня квадратична, середня арифметична і найбільш імовірна швидкості молекул
. (1.154)
Розподіл Максвелла
,
або
, (1.155)
де — кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від до ; — загальна кількість молекул; — відносна швидкість молекул.
Барометрична формула
, (1.156)
де і — тиск газу відповідно на висоті і .
Розподіл Больцмана
, (1.157)
де — різниця потенціальних енергій частинок (молекул) на двох рівнях довільного потенціального поля, і — концентрації частинок (молекул) на цих рівнях.
Розподіл Максвелла — Больцмана
Середня довжина вільного пробігу молекул газу
, (1.158)
де — концентрація молекул, — ефективний діаметр молекули.
Середня кількість зіткнень однієї молекули за одиницю часу
. (1.159)
Кількість зіткнень усіх молекул в одиниці об'єму за одиницю часу
. (1.160)
Середнє число ударів молекул за одиницю часу об одиничну плоску поверхню, розміщену в газі,
. (1.161)
Маса газу , перенесеного під час дифузії за час через плоску поверхню , розміщену перпендикулярно до осі , при градієнті густини вздовж цієї осі (закон Фіка),
, (1.162)
де — коефіцієнт дифузії. (1.162. а)
Сила внутрішнього тертя між двома шарами газу площею , що рухаються з різними швидкостями (закон Ньютона),
, (1.163)
де — градієнт швидкості течії газу в перпендикулярному до напрямі. Знак «мінус» означає, що сила тертя, яка діє на більш швидкі шари газу, напрямлена проти швидкості; — коефіцієнт динамічної в’язкості. (1.163.а)
Кількість теплоти, яка переноситься внаслідок теплопровідності за час через плоску поверхню при градієнті температури , перпендикулярному до ,
, (1.164)
де — коефіцієнт теплопровідності; (1. 164.а)
— питома теплоємність газу при сталому об'ємі.
§ 14. ПЕРШЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ
Перше начало термодинаміки
, (1.165)
де - елементарна кількість теплоти, що підводиться до термодинамічної системи; - зміна внутрішньої енергії системи; - робота, виконувана системою проти зовнішніх сил при нескінченно малій зміні об’єму.
Зміна внутрішньої енергії ідеального газу
, (1.166)
— зміна температури; - молярна теплоємність газу при ізохорному процесі; - кількість ступенів вільності молекул газу.
Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра)
. (1.167)
Робота, виконувана газом при ізобарному процесі,
. (1.168)
Робота при ізотермічному процесі
. (1.169)
Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона)
, (1.170)
або , (1.170,а)
або , (1.170,б)
де — показник адіабати.
Робота при адіабатному процесі
,
або
. (1.170, в)
Рівняння політропного процесу
, (1.171)
де — показник політропи; — молярна теплоємність газу при політропному процесі.
Робота при політропному процесі
, (1.172)
або
. (1.173)
§ 15. ДРУГЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ
Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини
, (1.174)
де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику.
ККД ідеального циклу Карно
, (1.175)
де — температура нагрівача; — температура холодильника.
Холодильний коефіцієнт холодильної машини
, (1.176)
де — кількість теплоти, яка відбирається від охолоджуваного тіла за цикл; — робота, виконувана над робочим тілом за цикл; — кількість теплоти, яка передається навколишньому середовищу.
Холодильний коефіцієнт ідеального оберненого циклу Карно
, (1.177)
де — температура середовища, якому передається теплота; — температура охолоджуваного тіла.
Приріст ентропії при переході термодинамічної системи із стану 1 у стан 2
. (1.178)
Адіабатний процес (). Для оборотного процесу маємо
, звідси , (1.179)
тобто оборотні адіабатні процеси є ізоентропійними.
Для оборотного ізотермічного процесу між двома станами 1 і 2 маємо
. (1.180)
З рівняння (1.165), оскільки ,маємо , а робота в ізотермічному процесі дорівнює (1.169), тому вираз (1.180) можно записати у вигляді:
. (1.181)
Ізохорний процес (). При сталому об’ємові , тому
.(1.182)
Ізобарний процес (). При цьому і приріст ентропії
. (1.183)
Ентропія і термодинамічна ймовірність (статистична вага) зв'язані співвідношенням , де — стала Больцмана.
§ 16. РЕАЛЬНІ ГАЗИ 1 РІДИНИ
Рівняння Ван-дер-Ваальса для довільної маси пг газу
, (1.179)
де і — сталі Ван-дер-Ваальса. В цьому рівнянні —тиск, зумовлений силами взаємодії молекул, — об'єм, зв'язаний з власним об'ємом молекул.
Зв'язок критичних параметрів — молярного об'єму, тиску і температури газу — із сталими і Ван-дер-Ваальса
. (1.180)
Стала Ван-дер-Ваальса , де — радіус молекули газу, — стала Авогадро.
Зв'язок між критичними параметрами моля речовини
. (1.181)
Рівняння Ван-дер-Ваальса у зведених величинах для одного моля газу
, (1.182)
де .
Зміна температури при дроселюванні реального газу в об'єм з невеликим тис
ком
, (1.183)
де — початковий об'єм і початкова температура газу.
Відносна вологість повітря
, або , (1.184)
де і — відповідно парціальний тиск і густина водяної пари, що знаходиться в повітрі при даній температурі (абсолютна вологість); і —парціальний тиск і густина насиченої водяної пари при тій самій температурі.
Рівняння Клапейрона - Клаузіуса
, (1.185)
де і — питомі об'єми речовини в двох станах; і — температура і питома теплота переходу речовини із стану 1 в 2.
Коефіцієнт поверхневого натягу
, (1.186)
де — сила поверхневого натягу; — довжина ділянки контуру, що обмежує вільну поверхню; — зміна вільної енергії поверхневого шару рідини; — зміна площі цього шару.
Надлишковий тиск, зумовлений кривизною поверхні рідини (формула Лапласа),
, (1.187)
де і — радіуси кривизни двох взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини.
Висота підняття рідини в капілярних трубках
, (1.188)
де — крайовий кут змочування; — густина рідини; — радіус капілярної трубки.
Відносна зміна об'єму рідини при нагріванні
, (1.189)
де — температурний коефіцієнт об'ємного розширення.
Відносна зміна об'єму рідини при зміні тиску
, (1.190)
де — коефіцієнт стисливості.
Осмотичний тиск розчину (1.формула Вант-Гоффа)
, (1.191)
де — кількість молів розчиненої речовини в одиниці об'єму розчинника.
§ 17. ТЕПЛОВІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ. ФАЗОВІ ПЕРЕХОДИ
Стала кристалічної решітки кубічної системи
, (1.192)
де — кількість однакових атомів у хімічній формулі кристалічного тіла; — кількість однакових атомів, які утворюють елементарну комірку; — густина кристала; — число Авогадро; — молярна маса речовини.
Відносна зміна довжини при зміні температури на ДТ
, (1.193)
де — початкова довжина; — зміна довжини; — коефіцієнт лінійного теплового розширення.
Для твердих ізотропних тіл , де — коефіцієнт об'ємного теплового розширення.
Молярна теплоємність хімічно простих твердих тіл в класичній теорії теплоємності (закон Дюлонга — Пті)
. (1.194)
Кількість теплоти, яка передається твердими тілами внаслідок теплопровідності,
, (1.195)
де — коефіцієнт теплопровідності; - градієнт температури в напрямі, перпендикулярному до поверхні, площа якої ; — час процесу теплопередачі.
Теплопередача від одного середовища до іншого через площу за час
, (1.196)
де — коефіцієнт тепловіддачі.
Рівняння Клапейрона — Клаузіуса для зміни температури плавлення при зміні тиску буде
, (1.197)
де — питомі об'єми речовини відповідно в твердому і рідкому станах; — температура плавлення; — питома теплота плавлення.
Розділ III ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ
§ 18. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ
За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди q1 і q2, визначається за формулою
, (2.1)
де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища = 8,854*10-12 Ф/м - електрична стала.
Об'ємна густина заряду
, Кл/м3. (2.2)
Поверхнева густина заряду
, Кл/м2. (2.3)
Лінійна густина заряду
. (2.4)
Напруженість і потенціал у даній точці поля
, (2.5)
де F - сила, з якою поле діє на пробний заряд , - робота по переміщенню пробного заряду із нескінченності у дану точку полю.
Напруженість і потенціал поля, створеного точковим зарядом q на відстані r від заряду,
. (2.6)
Напруженість результуючого поля системи n зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених кожним з цих зарядів окремо,
, (2.7)
За теоремою Остроградського - Гаусса потік напруженості та потік електричної індукції (де - вектор поляризації) через довільну замкнену поверхню
, (2.8)
дe - алгебраїчна сума зарядів, які знаходяться всередині замкненої поверхні, при цьому циркуляція вектора напруженості по замкненому колу дорівнює
. (2.8,а)
Модуль напруженості поля, створеного рівномірно зарядженою нескінченною площиною,
. (2.9)
Модуль напруженість поля, створеного різнойменне зарядженими паралельними нескінченними площинами (поле плоского конденсатора),
. (2.10)
Модуль напруженості поля, створеного зарядженою нескінченно довгою ниткою,
, (2.11)
де а - відстань від нитки до точки, в якій визначається напруженість.
Напруженість поля, створеного нескінченно довгим рівномірно зарядженим циліндром,
, (2.12)
де r відстань від осі циліндра до точки, в якій визначається напруженість.
Модуль напруженості електростатичного поля сфери радіуса R, заряд q якої рівномірно розподілений по її поверхні, на відстані r від центра:
(2.13)
Модуль напруженості поля кулі радіуса R., рівномірно зарядженої по об'єму, на відстані r від центра:
(2.14)
Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:
. (2.15)
Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість
, (2.16)
де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.
§ 19. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ
Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала
, (2.17)
де — електрична ємність провідника.
Ємність плоского і циліндричного конденсаторів:
, (2.18)
де — площа кожної пластини; — висота коаксіальних циліндрів; і — радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндрів відповідно.
Ємність сферичного конденсатора
, (2.19)
де і — радіус внутрішньої і зовнішньої сфер.
Ємність провідної кулі радіуса г
. (2.20)
При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорывнюэ
, (2.21)
при послідовному з'єднанні
. (2.22)
Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника
. (2.23)
Для плоского конденсатора
, (2.24)
де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.
Об'ємна густина енергії електричного поля
, (2.25)
де - електричне зміщення, Кл/м2.
Сила притягання пластин плоского конденсатора
. (2.26)
§ 20. ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ
Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу
. (2.27)
Силу постійного струму визначають із співвідношення
. (2.28)
Густину струму вимірюють відношенням сили струму до площі поперечного перерізу провідника
. (2.29)
Закон Ома для ділянки електричного кола
, (2.30)
де — різниця потенціалів на кінцях ділянки; — опір цієї ділянки.
Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу
, (2.31)
де — питомий опір.
Питомий опір провідника залежить від його температури
, (2.32)
де — питомий опір при 0 °С; — температурний коефіцієнт опору.
Закон Ома для неоднорідної ділянки кола
. (2.33)
де — напруга на даній ділянці кола; — сума всіх опорів ділянки; — ЕРС джерела струму.
Закон Ома в диференціальній формі
, (2.34)
де — питома електропровідність матеріалу.
Закон Ома для повного кола
, (2.35)
де — зовнішній опір; — внутрішній опір.
Робота струму на ділянці кола
. (2.36)
Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу
. (2.38)
Потужність повного електричного кола
. (2.39)
Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму
. (2.40)
Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),
. (2.41)
Закон Джоуля — Ленца в диференціальній формі
, (2.42)
де — питома густина теплової потужності.