double arrow

Гравітація. Елементи теорії поля.

Закон всесвітнього тяжіння у скалярній формі

, (1.87)

де — маси матеріальних точок; — відстань між ними; = 6,67*10-11Нм2/кг2— гравітаційна стала.

Закон всесвітнього тяжіння у векторній формі

, (1.88)

де — сила, що діє на першу матеріальну точку з боку другої; — радіус-вектор, що з’єднує другу точку з першою.

Третій закон Кеплера

, (1.89)

де — великі півосі еліптичних орбіт планет навколо Сонця; — періоди обертання цих планет.

Напруженість гравітаційного поля тіла масою

, (1.90)

де - маса пробного тіла.

Потенціал гравітаційного поля в даній точці

. (1.91)

Зв’язок між напруженістю і потенціалом гравітаційного поля

. (1.92)

Основне рівняння руху матеріальної точки змінної маси (рівняння Мещерського)

, (1.93)

де рівнодійна зовнішніх сил, що діють на тіло змінної маси ; швидкість від'єднання (приєднання) частинок тіла (ця швидкість відраховується відносно самого тіла).

Швидкість руху ракети вертикально вгору, коли дії зовнішніх сил немає, визначається за формулою Ціолковського:

. (1.94)

Якщо в початковий момент часу швидкість ракети , то

, (1.95)

де — початкова (стартова) маса ракети; маса ракети в даний момент часу. Якщо паливо згоряє повністю, то — маса конструкції ракети.

§ 7. МЕХАНІКА РІДИН 1 ГАЗІВ

Рівняння нерозривності течії стаціонарного потоку ідеальної рідини

, (1.96)

де — швидкість рідини; — площа поперечного перерізу трубки течії.

Робота сил зовнішнього тиску по переміщенню рідині об’ємом

. (1.97)

Рівняння Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини

, (1.98)

де — густина рідини; — зовнішній тиск; — висота перерізу трубки течії над певним рівнем.

Швидкість витікання ідеальної рідини через малий отвір в широкій посудині (формула Торрічеллі)

, (1.99)

де — висота стовпа рідини над отвором.

Лобовий опір тіла, що знаходиться в ламінарному потоці в'язкої рідини,

, (1.100)

де — коефіцієнт, що залежить від форми і розмірів тіла; — динамічна в'язкість;

— швидкість течії.

При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла) сила опору описується законом Стокса:

, (1.101)

де — радіус кулі.

Розподіл швидкості ламінарної течії рідини у циліндричній трубі радіуса

, (1.102)

де - довжина трубки; - відстань від осі трубки.

При ламінарній течії через трубку довжиною і радіуса за час проходить об'єм рідини . Цей об'єм визначається за формулою Пуазейля:

, (1.103)

де -- різниця тиску на кінцях трубки.

У випадку турбулентного потоку при не дуже великих швидкостях течії лобовий

опір

, (1.104)

де — коефіцієнт лобового опору, який залежить від форми тіла і числа Рейнольдса; —площа міделя (площа проекції тіла на площину, перпендикулярну до швидкості потоку); — густина середовища.

Число Рейнольдса

, (1.105)

де —характеристичний розмір (величина, що характеризує лінійні розміри тіла).

§ 8. ЕЛЕМЕНТИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

Перетворення Лоренца:

(1.106)

(1.107)

, (1.108)

де — швидкість відносного руху інерціальних систем відліку; с — швидкість світла у вакуумі; . (1.109)

Тривалість події в рухомій системі відліку , (1.110)

де — тривалість події в нерухомій системі відліку.

Скорочення довжини рухомого тіла

, (1.111)

де — довжина рухомого тіла; — власна довжина тіла.

Релятивістський закон додавання швидкостей

, (1.112)

де — швидкість тіла в нерухомій системі (абсолютна швидкість); — швидкість тіла в рухомій системі (відносна швидкість).

Релятивістська маса і імпульс такі:

, (1.113)

де — швидкість тіла у вибраній системі відліку; — маса тіла в нерухомому стані у вибраній системі відліку (маса спокою).

Другий закон Ньютона в релятивістській формі:

. (1.114)

Кінетична енергія тіла

, (1.115)

або якщо ввести релятивістську масу

(1.116)

Повна релятивістська енергія

(1.117)

§ 9-11. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

Рівняння вільних незатухаючих коливань і його розв'язок

, (1.118)

де — зміщення; — амплітуда; — власна частота коливань; — початкова фаза.

Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання,

(1.119)

. (1.120)

Рівняння затухаючих коливань і його розв'язок

(1.121)

(1.122)

де — коефіцієнт затухання; - коефіцієнт опору середовища; - маса тіла; — циклічна частота коливань; - частота незатухаючих коливань; — амплітуда затухаючих коливань.

Логарифмічний декремент затухання

. (1.123)

Добротність

. (1.124)

Рівняння вимушених коливань і його частинний розв'язок

; (1.125)

,

де - — амплітуда коливань; - початкова фаза; — зовнішня сила.

Резонансні значення циклічної частоти і амплітуди

. (1.126)

Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Амплітуда результуючого коливання

. (1.127)

Початкова фаза результуючого коливання

. (1.128)

Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях,

(1.129)

а) , якщо різниця фаз ;

б) , якщо ;

в) , якщо .

Період малих коливань математичного маятника

, (1.130)

де - довжина маятника; - прискорення вільного падіння.

Період коливань тіла, підвішеного на пружині,

, (1.131)

де — маса тіла; — жорсткість пружини.

Період малих коливань фізичного маятника

, (1.132)

де = зведена довжина фізичного маятника; —момент інерції маятника відносно осі коливання; — маса маятника; — відстань від центра мас до осі коливання.

Повна енергія матеріальної точки масою , яка здійснює гармонічні коливання

. (1.133)

Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі

, (1.134)

де —зміщення довільної точки середовища на відстані в момент часу ; — довжина хвилі — швидкість поширення коливань у середовищі; — період; — хвильове число.

Швидкість поширення поздовжніх хвиль у пружному середовищі

, (1.135)

де — модуль Юнга; — густина середовища.

Швидкість поширення поперечних хвиль

, (1.136)

де — модуль зсуву.

Кінетична енергія хвильового руху в об'ємі

. (1.137)

Потенціальна енергія хвильового руху

. (1.138)

Повна енергія хвильового руху

. (1.139)

Середнє значення об'ємної густини енергії за часом

. (1.140)

Потік енергії хвилі

, (1.141)

де — поверхня, через яку переноситься енергія хвилі; — швидкість хвилі.

Середнє значення густини потоку енергії хвилі (вектор Умова)

. (1.142)

Рівень гучності звуку, дБ,

, (1.143)

де — інтенсивність звуку певної частоти; — інтенсивність на порозі чутності.

Ефект Доплера

, (1.144)

де — швидкість поширення звуку; — швидкість руху приймача; — швидкість руху джерела звуку; — частота від джерела. Верхні знаки беруться при зближенні джерела і приймача, нижні — при їх віддаленні.

§ 12, 13. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ РЕЧОВИНИ. СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ТА ЯВИЩА ПЕРЕНОСУ В ГАЗАХ

Атомна одиниця маси кг. Відносна молекулярна маса, або відносна маса молекули

, (1.145)

де — абсолютне значення маси молекули, кг.

Відносна молекулярна маса речовини

, (1.146)

де — кількість атомів хімічного елемента, що входить до складу молекули даної речовини; — відносна атомна маса цього елемента (відносні атомні маси наведено в таблиці Менделєєва).

В одному молі довільної речовини міститься однакова кількість структурних елементів (стала Авогадро): == 6,02. 1023 моль-1.

Молярна маса (кг/моль). Кількість молів речовини

, (1.147)

де — кількість структурних елементів (молекул) речовини, — маса речовини.

Кількість молів суміші речовин

.

Основне рівняння кінетичної теорії газів

, (1.148)

де —тиск газу; — концентрація молекул; — середня кінетична енергія поступального руху молекули.

Середня енергія молекули

, (1.149)

де Дж/К — стала Больцмана; — термодинамічна температура газу.

Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури

. (1.150)

Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва — Клапейрона)

, (1.151)

де =8,31 Дж/(моль•К) — універсальна газова стала.

Тиск суміші газів (закон Дальтона)

, (1.152)

— парціальний тиск -ї компоненти суміші; — число компонентів.

Молярна маса суміші газів

, (1.153)

де — маса компоненти суміші; — кількість молів -ї компоненти

суміші.

Середня квадратична, середня арифметична і найбільш імовірна швидкості молекул

. (1.154)

Розподіл Максвелла

,

або

, (1.155)

де — кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від до ; — загальна кількість молекул; — відносна швидкість молекул.

Барометрична формула

, (1.156)

де і — тиск газу відповідно на висоті і .

Розподіл Больцмана

, (1.157)

де — різниця потенціальних енергій частинок (молекул) на двох рівнях довільного потенціального поля, і — концентрації частинок (молекул) на цих рівнях.

Розподіл Максвелла — Больцмана

Середня довжина вільного пробігу молекул газу

, (1.158)

де — концентрація молекул, — ефективний діаметр молекули.

Середня кількість зіткнень однієї молекули за одиницю часу

. (1.159)

Кількість зіткнень усіх молекул в одиниці об'єму за одиницю часу

. (1.160)

Середнє число ударів молекул за одиницю часу об одиничну плоску поверхню, розміщену в газі,

. (1.161)

Маса газу , перенесеного під час дифузії за час через плоску поверхню , розміщену перпендикулярно до осі , при градієнті густини вздовж цієї осі (закон Фіка),

, (1.162)

де — коефіцієнт дифузії. (1.162. а)

Сила внутрішнього тертя між двома шарами газу площею , що рухаються з різними швидкостями (закон Ньютона),

, (1.163)

де — градієнт швидкості течії газу в перпендикулярному до напрямі. Знак «мінус» означає, що сила тертя, яка діє на більш швидкі шари газу, напрямлена проти швидкості; — коефіцієнт динамічної в’язкості. (1.163.а)

Кількість теплоти, яка переноситься внаслідок теплопровідності за час через плоску поверхню при градієнті температури , перпендикулярному до ,

, (1.164)

де — коефіцієнт теплопровідності; (1. 164.а)

— питома теплоємність газу при сталому об'ємі.

§ 14. ПЕРШЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ

Перше начало термодинаміки

, (1.165)

де - елементарна кількість теплоти, що підводиться до термодинамічної системи; - зміна внутрішньої енергії системи; - робота, виконувана системою проти зовнішніх сил при нескінченно малій зміні об’єму.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу

, (1.166)

— зміна температури; - молярна теплоємність газу при ізохорному процесі; - кількість ступенів вільності молекул газу.

Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра)

. (1.167)

Робота, виконувана газом при ізобарному процесі,

. (1.168)

Робота при ізотермічному процесі

. (1.169)

Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона)

, (1.170)

або , (1.170,а)

або , (1.170,б)

де — показник адіабати.

Робота при адіабатному процесі

,

або

. (1.170, в)

Рівняння політропного процесу

, (1.171)

де — показник політропи; — молярна теплоємність газу при політропному процесі.

Робота при політропному процесі

, (1.172)

або

. (1.173)

§ 15. ДРУГЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (1.174)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику.

ККД ідеального циклу Карно

, (1.175)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Холодильний коефіцієнт холодильної машини

, (1.176)

де — кількість теплоти, яка відбирається від охолоджуваного тіла за цикл; — робота, виконувана над робочим тілом за цикл; — кількість теплоти, яка передається навколишньому середовищу.

Холодильний коефіцієнт ідеального оберненого циклу Карно

, (1.177)

де — температура середовища, якому передається теплота; — температура охолоджуваного тіла.

Приріст ентропії при переході термодинамічної системи із стану 1 у стан 2

. (1.178)

Адіабатний процес (). Для оборотного процесу маємо

, звідси , (1.179)

тобто оборотні адіабатні процеси є ізоентропійними.

Для оборотного ізотермічного процесу між двома станами 1 і 2 маємо

. (1.180)

З рівняння (1.165), оскільки ,маємо , а робота в ізотермічному процесі дорівнює (1.169), тому вираз (1.180) можно записати у вигляді:

. (1.181)

Ізохорний процес (). При сталому об’ємові , тому

.(1.182)

Ізобарний процес (). При цьому і приріст ентропії

. (1.183)

Ентропія і термодинамічна ймовірність (статистична вага) зв'язані співвідношенням , де — стала Больцмана.

§ 16. РЕАЛЬНІ ГАЗИ 1 РІДИНИ

Рівняння Ван-дер-Ваальса для довільної маси пг газу

, (1.179)

де і — сталі Ван-дер-Ваальса. В цьому рівнянні —тиск, зумовлений силами взаємодії молекул, — об'єм, зв'язаний з власним об'ємом молекул.

Зв'язок критичних параметрів — молярного об'єму, тиску і температури газу — із сталими і Ван-дер-Ваальса

. (1.180)

Стала Ван-дер-Ваальса , де — радіус молекули газу, — стала Авогадро.

Зв'язок між критичними параметрами моля речовини

. (1.181)

Рівняння Ван-дер-Ваальса у зведених величинах для одного моля газу

, (1.182)

де .

Зміна температури при дроселюванні реального газу в об'єм з невеликим тис

ком

, (1.183)

де — початковий об'єм і початкова температура газу.

Відносна вологість повітря

, або , (1.184)

де і — відповідно парціальний тиск і густина водяної пари, що знаходиться в повітрі при даній температурі (абсолютна вологість); і —парціальний тиск і густина насиченої водяної пари при тій самій температурі.

Рівняння Клапейрона - Клаузіуса

, (1.185)

де і — питомі об'єми речовини в двох станах; і — температура і питома теплота переходу речовини із стану 1 в 2.

Коефіцієнт поверхневого натягу

, (1.186)

де — сила поверхневого натягу; — довжина ділянки контуру, що обмежує вільну поверхню; — зміна вільної енергії поверхневого шару рідини; — зміна площі цього шару.

Надлишковий тиск, зумовлений кривизною поверхні рідини (формула Лапласа),

, (1.187)

де і — радіуси кривизни двох взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини.

Висота підняття рідини в капілярних трубках

, (1.188)

де — крайовий кут змочування; — густина рідини; — радіус капілярної трубки.

Відносна зміна об'єму рідини при нагріванні

, (1.189)

де — температурний коефіцієнт об'ємного розширення.

Відносна зміна об'єму рідини при зміні тиску

, (1.190)

де — коефіцієнт стисливості.

Осмотичний тиск розчину (1.формула Вант-Гоффа)

, (1.191)

де — кількість молів розчиненої речовини в одиниці об'єму розчинника.

 

§ 17. ТЕПЛОВІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ. ФАЗОВІ ПЕРЕХОДИ

Стала кристалічної решітки кубічної системи

, (1.192)

де — кількість однакових атомів у хімічній формулі кристалічного тіла; — кількість однакових атомів, які утворюють елементарну комірку; — густина кристала; — число Авогадро; — молярна маса речовини.

Відносна зміна довжини при зміні температури на ДТ

, (1.193)

де — початкова довжина; — зміна довжини; — коефіцієнт лінійного теплового розширення.

Для твердих ізотропних тіл , де — коефіцієнт об'ємного теплового розширення.

Молярна теплоємність хімічно простих твердих тіл в класичній теорії теплоємності (закон Дюлонга — Пті)

. (1.194)

Кількість теплоти, яка передається твердими тілами внаслідок теплопровідності,

, (1.195)

де — коефіцієнт теплопровідності; - градієнт температури в напрямі, перпендикулярному до поверхні, площа якої ; — час процесу теплопередачі.

Теплопередача від одного середовища до іншого через площу за час

, (1.196)

де — коефіцієнт тепловіддачі.

Рівняння Клапейрона — Клаузіуса для зміни температури плавлення при зміні тиску буде

, (1.197)

де — питомі об'єми речовини відповідно в твердому і рідкому станах; — температура плавлення; — питома теплота плавлення.

Розділ III ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ

§ 18. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди q1 і q2, визначається за формулою

, (2.1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища = 8,854*10-12 Ф/м - електрична стала.

Об'ємна густина заряду

, Кл/м3. (2.2)

Поверхнева густина заряду

, Кл/м2. (2.3)

Лінійна густина заряду

. (2.4)

Напруженість і потенціал у даній точці поля

, (2.5)

де F - сила, з якою поле діє на пробний заряд , - робота по переміщенню пробного заряду із нескінченності у дану точку полю.

Напруженість і потенціал поля, створеного точковим зарядом q на відстані r від заряду,

. (2.6)

Напруженість результуючого поля системи n зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених кожним з цих зарядів окремо,

, (2.7)

За теоремою Остроградського - Гаусса потік напруженості та потік електричної індукції (де - вектор поляризації) через довільну замкнену поверхню

, (2.8)

дe - алгебраїчна сума зарядів, які знаходяться всередині замкненої поверхні, при цьому циркуляція вектора напруженості по замкненому колу дорівнює

. (2.8,а)

Модуль напруженості поля, створеного рівномірно зарядженою нескінченною площиною,

. (2.9)

Модуль напруженість поля, створеного різнойменне зарядженими паралельними нескінченними площинами (поле плоского конденсатора),

. (2.10)

Модуль напруженості поля, створеного зарядженою нескінченно довгою ниткою,

, (2.11)

де а - відстань від нитки до точки, в якій визначається напруженість.

Напруженість поля, створеного нескінченно довгим рівномірно зарядженим циліндром,

, (2.12)

де r відстань від осі циліндра до точки, в якій визначається напруженість.

Модуль напруженості електростатичного поля сфери радіуса R, заряд q якої рівномірно розподілений по її поверхні, на відстані r від центра:

(2.13)

Модуль напруженості поля кулі радіуса R., рівномірно зарядженої по об'єму, на відстані r від центра:

(2.14)

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (2.15)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість

, (2.16)

де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

§ 19. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ

Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала

, (2.17)

де — електрична ємність провідника.

Ємність плоского і циліндричного конденсаторів:

, (2.18)

де — площа кожної пластини; — висота коаксіальних циліндрів; і — радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндрів відповідно.

Ємність сферичного конденсатора

, (2.19)

де і — радіус внутрішньої і зовнішньої сфер.

Ємність провідної кулі радіуса г

. (2.20)

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорывнюэ

, (2.21)

при послідовному з'єднанні

. (2.22)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника

. (2.23)

Для плоского конденсатора

, (2.24)

де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Об'ємна густина енергії електричного поля

, (2.25)

де - електричне зміщення, Кл/м2.

Сила притягання пластин плоского конденсатора

. (2.26)

§ 20. ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ

Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного че­рез поперечний переріз провідника, залежно від часу

. (2.27)

Силу постійного струму визначають із співвідношення

. (2.28)

Густину струму вимірюють відношенням сили струму до площі поперечного перерізу провідника

. (2.29)

Закон Ома для ділянки електричного кола

, (2.30)

де — різниця потенціалів на кінцях ділянки; — опір цієї ділянки.

Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу

, (2.31)

де — питомий опір.

Питомий опір провідника залежить від його температури

, (2.32)

де — питомий опір при 0 °С; — температурний коефіцієнт опору.

Закон Ома для неоднорідної ділянки кола

. (2.33)

де — напруга на даній ділянці кола; — сума всіх опорів ділянки; — ЕРС джерела струму.

Закон Ома в диференціальній формі

, (2.34)

де — питома електропровідність матеріалу.

Закон Ома для повного кола

, (2.35)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

Робота струму на ділянці кола

. (2.36)

Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу

. (2.38)

Потужність повного електричного кола

. (2.39)

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (2.40)

Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),

. (2.41)

Закон Джоуля — Ленца в диференціальній формі

, (2.42)

де — питома густина теплової потужності.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: