2017-10-25
1375
Закон всесвітнього тяжіння у скалярній формі
, (1.87)
де 
— маси матеріальних точок; 
— відстань між ними; 
= 6,67*10-11Нм2/кг2— гравітаційна стала.
Закон всесвітнього тяжіння у векторній формі
, (1.88)
де 
— сила, що діє на першу матеріальну точку з боку другої; 
— радіус-вектор, що з’єднує другу точку з першою.
Третій закон Кеплера
, (1.89)
де 
— великі півосі еліптичних орбіт планет навколо Сонця; 
— періоди обертання цих планет.
Напруженість гравітаційного поля тіла масою 
, (1.90)
де 
- маса пробного тіла.
Потенціал гравітаційного поля в даній точці
. (1.91)
Зв’язок між напруженістю і потенціалом гравітаційного поля
. (1.92)
Основне рівняння руху матеріальної точки змінної маси (рівняння Мещерського)
, (1.93)
де 
— рівнодійна зовнішніх сил, що діють на тіло змінної маси 
; 
— швидкість від'єднання (приєднання) частинок тіла (ця швидкість відраховується відносно самого тіла).
Швидкість 
руху ракети вертикально вгору, коли дії зовнішніх сил немає, визначається за формулою Ціолковського:
. (1.94)
Якщо в початковий момент часу швидкість ракети 
, то
, (1.95)
де 
— початкова (стартова) маса ракети; 
— маса ракети в даний момент часу. Якщо паливо згоряє повністю, то — маса конструкції ракети.
§ 7. МЕХАНІКА РІДИН 1 ГАЗІВ
Рівняння нерозривності течії стаціонарного потоку ідеальної рідини
, (1.96)
де 
— швидкість рідини; 
— площа поперечного перерізу трубки течії.
Робота сил зовнішнього тиску по переміщенню рідині об’ємом 
. (1.97)
Рівняння Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини
, (1.98)
де 
— густина рідини; 
— зовнішній тиск; 
— висота перерізу трубки течії над певним рівнем.
Швидкість витікання ідеальної рідини через малий отвір в широкій посудині (формула Торрічеллі)
, (1.99)
де 
— висота стовпа рідини над отвором.
Лобовий опір тіла, що знаходиться в ламінарному потоці в'язкої рідини,
, (1.100)
де 
— коефіцієнт, що залежить від форми і розмірів тіла; 
— динамічна в'язкість;
— швидкість течії.
При русі тіла кулеподібної форми у в'язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла) сила опору описується законом Стокса:
, (1.101)
де 
— радіус кулі.
Розподіл швидкості ламінарної течії рідини у циліндричній трубі радіуса 
, (1.102)
де 
- довжина трубки; 
- відстань від осі трубки.
При ламінарній течії через трубку довжиною 
і радіуса 
за час 
проходить об'єм рідини 
. Цей об'єм визначається за формулою Пуазейля:
, (1.103)
де 
-- різниця тиску на кінцях трубки.
У випадку турбулентного потоку при не дуже великих швидкостях течії лобовий
опір
, (1.104)
де 
— коефіцієнт лобового опору, який залежить від форми тіла і числа Рейнольдса; 
—площа міделя (площа проекції тіла на площину, перпендикулярну до швидкості потоку); 
— густина середовища.
Число Рейнольдса
, (1.105)
де 
—характеристичний розмір (величина, що характеризує лінійні розміри тіла).
§ 8. ЕЛЕМЕНТИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
Перетворення Лоренца:
(1.106)
(1.107)
, (1.108)
де 
— швидкість відносного руху інерціальних систем відліку; с — швидкість світла у вакуумі; 
. (1.109)
Тривалість події в рухомій системі відліку 
, (1.110)
де 
— тривалість події в нерухомій системі відліку.
Скорочення довжини рухомого тіла
, (1.111)
де 
— довжина рухомого тіла; 
— власна довжина тіла.
Релятивістський закон додавання швидкостей
, (1.112)
де 
— швидкість тіла в нерухомій системі (абсолютна швидкість); 
— швидкість тіла в рухомій системі (відносна швидкість).
Релятивістська маса і імпульс такі:
, (1.113)
де 
— швидкість тіла у вибраній системі відліку; 
— маса тіла в нерухомому стані у вибраній системі відліку (маса спокою).
Другий закон Ньютона в релятивістській формі:
. (1.114)
Кінетична енергія тіла
, (1.115)
або якщо ввести релятивістську масу
(1.116)
Повна релятивістська енергія
(1.117)
§ 9-11. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ
Рівняння вільних незатухаючих коливань і його розв'язок
, (1.118)
де 
— зміщення; 
— амплітуда; 
— власна частота коливань; 
— початкова фаза.
Швидкість і прискорення матеріальної точки, яка виконує гармонічне коливання,
(1.119)
. (1.120)
Рівняння затухаючих коливань і його розв'язок
(1.121)
(1.122)
де 
— коефіцієнт затухання; 
- коефіцієнт опору середовища; 
- маса тіла; 
— циклічна частота коливань; 
- частота незатухаючих коливань; 
— амплітуда затухаючих коливань.
Логарифмічний декремент затухання
. (1.123)
Добротність
. (1.124)
Рівняння вимушених коливань і його частинний розв'язок
; (1.125)
,
де - 
— амплітуда коливань; 
- початкова фаза; 
— зовнішня сила.
Резонансні значення циклічної частоти і амплітуди
. (1.126)
Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Амплітуда результуючого коливання
. (1.127)
Початкова фаза результуючого коливання
. (1.128)
Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях,
(1.129)
а) 
, якщо різниця фаз 
;
б) 
, якщо 
;
в) 
, якщо 
.
Період малих коливань математичного маятника
, (1.130)
де 
- довжина маятника; 
- прискорення вільного падіння.
Період коливань тіла, підвішеного на пружині,
, (1.131)
де 
— маса тіла; 
— жорсткість пружини.
Період малих коливань фізичного маятника
, (1.132)
де 
= зведена довжина фізичного маятника; 
—момент інерції маятника відносно осі коливання; 
— маса маятника; 
— відстань від центра мас до осі коливання.
Повна енергія матеріальної точки масою 
, яка здійснює гармонічні коливання
. (1.133)
Рівняння плоскої монохроматичної біжучої хвилі
, (1.134)
де 
—зміщення довільної точки середовища на відстані 
в момент часу 
; 
— довжина хвилі 
— швидкість поширення коливань у середовищі; 
— період; 
— хвильове число.
Швидкість поширення поздовжніх хвиль у пружному середовищі
, (1.135)
де 
— модуль Юнга; 
— густина середовища.
Швидкість поширення поперечних хвиль
, (1.136)
де 
— модуль зсуву.
Кінетична енергія хвильового руху в об'ємі 
. (1.137)
Потенціальна енергія хвильового руху
. (1.138)
Повна енергія хвильового руху
. (1.139)
Середнє значення об'ємної густини енергії за часом
. (1.140)
Потік енергії хвилі
, (1.141)
де 
— поверхня, через яку переноситься енергія хвилі; 
— швидкість хвилі.
Середнє значення густини потоку енергії хвилі (вектор Умова)
. (1.142)
Рівень гучності звуку, дБ,
, (1.143)
де 
— інтенсивність звуку певної частоти; 
— інтенсивність на порозі чутності.
Ефект Доплера
, (1.144)
де 
— швидкість поширення звуку; 
— швидкість руху приймача; 
— швидкість руху джерела звуку; 
— частота від джерела. Верхні знаки беруться при зближенні джерела і приймача, нижні — при їх віддаленні.
§ 12, 13. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ РЕЧОВИНИ. СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ТА ЯВИЩА ПЕРЕНОСУ В ГАЗАХ
Атомна одиниця маси 
кг. Відносна молекулярна маса, або відносна маса молекули
, (1.145)
де 
— абсолютне значення маси молекули, кг.
Відносна молекулярна маса речовини
, (1.146)
де 
— кількість атомів 
хімічного елемента, що входить до складу молекули даної речовини; 
— відносна атомна маса цього елемента (відносні атомні маси наведено в таблиці Менделєєва).
В одному молі довільної речовини міститься однакова кількість структурних елементів (стала Авогадро): 
== 6,02. 1023 моль-1.
Молярна маса 
(кг/моль). Кількість молів речовини
, (1.147)
де 
— кількість структурних елементів (молекул) речовини, 
— маса речовини.
Кількість молів суміші речовин
.
Основне рівняння кінетичної теорії газів
, (1.148)
де 
—тиск газу; 
— концентрація молекул; 
— середня кінетична енергія поступального руху молекули.
Середня енергія молекули
, (1.149)
де 
Дж/К — стала Больцмана; 
— термодинамічна температура газу.
Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури
. (1.150)
Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва — Клапейрона)
, (1.151)
де 
=8,31 Дж/(моль•К) — універсальна газова стала.
Тиск суміші газів (закон Дальтона)
, (1.152)
— парціальний тиск 
-ї компоненти суміші; 
— число компонентів.
Молярна маса суміші газів
, (1.153)
де 
— маса 
компоненти суміші; 
— кількість молів 
-ї компоненти
суміші.
Середня квадратична, середня арифметична і найбільш імовірна швидкості молекул
. (1.154)
Розподіл Максвелла
,
або
, (1.155)
де 
— кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від 
до 
; 
— загальна кількість молекул; 
— відносна швидкість молекул.
Барометрична формула
, (1.156)
де 
і 
— тиск газу відповідно на висоті 
і 
.
Розподіл Больцмана
, (1.157)
де 
— різниця потенціальних енергій частинок (молекул) на двох рівнях довільного потенціального поля, 
і 
— концентрації частинок (молекул) на цих рівнях.
Розподіл Максвелла — Больцмана
Середня довжина вільного пробігу молекул газу
, (1.158)
де 
— концентрація молекул, 
— ефективний діаметр молекули.
Середня кількість зіткнень однієї молекули за одиницю часу
. (1.159)
Кількість зіткнень усіх молекул в одиниці об'єму за одиницю часу
. (1.160)
Середнє число ударів молекул за одиницю часу об одиничну плоску поверхню, розміщену в газі,
. (1.161)
Маса газу 
, перенесеного під час дифузії за час 
через плоску поверхню 
, розміщену перпендикулярно до осі 
, при градієнті густини вздовж цієї осі 
(закон Фіка),
, (1.162)
де 
— коефіцієнт дифузії. (1.162. а)
Сила внутрішнього тертя 
між двома шарами газу площею 
, що рухаються з різними швидкостями (закон Ньютона),
, (1.163)
де 
— градієнт швидкості течії газу в перпендикулярному до 
напрямі. Знак «мінус» означає, що сила тертя, яка діє на більш швидкі шари газу, напрямлена проти швидкості; 
— коефіцієнт динамічної в’язкості. (1.163.а)
Кількість теплоти, яка переноситься внаслідок теплопровідності за час 
через плоску поверхню 
при градієнті температури 
, перпендикулярному до 
,
, (1.164)
де 
— коефіцієнт теплопровідності; (1. 164.а)
— питома теплоємність газу при сталому об'ємі.
§ 14. ПЕРШЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ
Перше начало термодинаміки
, (1.165)
де 
- елементарна кількість теплоти, що підводиться до термодинамічної системи; 
- зміна внутрішньої енергії системи; 
- робота, виконувана системою проти зовнішніх сил при нескінченно малій зміні об’єму.
Зміна внутрішньої енергії ідеального газу
, (1.166)
— зміна температури; 
- молярна теплоємність газу при ізохорному процесі; 
- кількість ступенів вільності молекул газу.
Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра)
. (1.167)
Робота, виконувана газом при ізобарному процесі,
. (1.168)
Робота при ізотермічному процесі
. (1.169)
Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона)
, (1.170)
або 
, (1.170,а)
або 
, (1.170,б)
де 
— показник адіабати.
Робота при адіабатному процесі
,
або
. (1.170, в)
Рівняння політропного процесу
, (1.171)
де 
— показник політропи; 
— молярна теплоємність газу при політропному процесі.
Робота при політропному процесі
, (1.172)
або
. (1.173)
§ 15. ДРУГЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ
Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини
, (1.174)
де 
— кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; 
— кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику.
ККД ідеального циклу Карно
, (1.175)
де 
— температура нагрівача; 
— температура холодильника.
Холодильний коефіцієнт холодильної машини
, (1.176)
де 
— кількість теплоти, яка відбирається від охолоджуваного тіла за цикл; 
— робота, виконувана над робочим тілом за цикл; 
— кількість теплоти, яка передається навколишньому середовищу.
Холодильний коефіцієнт ідеального оберненого циклу Карно
, (1.177)
де 
— температура середовища, якому передається теплота; 
— температура охолоджуваного тіла.
Приріст ентропії 
при переході термодинамічної системи із стану 1 у стан 2
. (1.178)
Адіабатний процес (
). Для оборотного процесу маємо
, звідси 
, (1.179)
тобто оборотні адіабатні процеси є ізоентропійними.
Для оборотного ізотермічного процесу між двома станами 1 і 2 маємо
. (1.180)
З рівняння (1.165), оскільки 
,маємо 
, а робота в ізотермічному процесі дорівнює (1.169), тому вираз (1.180) можно записати у вигляді:
. (1.181)
Ізохорний процес (
). При сталому об’ємові 
, тому
.(1.182)
Ізобарний процес (
). При цьому 
і приріст ентропії
. (1.183)
Ентропія 
і термодинамічна ймовірність (статистична вага) 
зв'язані співвідношенням 
, де 
— стала Больцмана.
§ 16. РЕАЛЬНІ ГАЗИ 1 РІДИНИ
Рівняння Ван-дер-Ваальса для довільної маси пг газу
, (1.179)
де 
і 
— сталі Ван-дер-Ваальса. В цьому рівнянні 
—тиск, зумовлений силами взаємодії молекул, 
— об'єм, зв'язаний з власним об'ємом молекул.
Зв'язок критичних параметрів — молярного об'єму, тиску і температури газу — із сталими 
і 
Ван-дер-Ваальса
. (1.180)
Стала Ван-дер-Ваальса 
, де 
— радіус молекули газу, 
— стала Авогадро.
Зв'язок між критичними параметрами моля речовини
. (1.181)
Рівняння Ван-дер-Ваальса у зведених величинах для одного моля газу
, (1.182)
де 
.
Зміна температури при дроселюванні реального газу в об'єм з невеликим тис
ком
, (1.183)
де 
— початковий об'єм і початкова температура газу.
Відносна вологість повітря
, або 
, (1.184)
де 
і 
— відповідно парціальний тиск і густина водяної пари, що знаходиться в повітрі при даній температурі (абсолютна вологість); 
і 
—парціальний тиск і густина насиченої водяної пари при тій самій температурі.
Рівняння Клапейрона - Клаузіуса
, (1.185)
де 
і 
— питомі об'єми речовини в двох станах; 
і 
— температура і питома теплота переходу речовини із стану 1 в 2.
Коефіцієнт поверхневого натягу
, (1.186)
де 
— сила поверхневого натягу; 
— довжина ділянки контуру, що обмежує вільну поверхню; 
— зміна вільної енергії поверхневого шару рідини; 
— зміна площі цього шару.
Надлишковий тиск, зумовлений кривизною поверхні рідини (формула Лапласа),
, (1.187)
де 
і 
— радіуси кривизни двох взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини.
Висота підняття рідини в капілярних трубках
, (1.188)
де 
— крайовий кут змочування; 
— густина рідини; 
— радіус капілярної трубки.
Відносна зміна об'єму рідини при нагріванні
, (1.189)
де 
— температурний коефіцієнт об'ємного розширення.
Відносна зміна об'єму рідини при зміні тиску
, (1.190)
де 
— коефіцієнт стисливості.
Осмотичний тиск розчину (1.формула Вант-Гоффа)
, (1.191)
де 
— кількість молів розчиненої речовини в одиниці об'єму розчинника.
§ 17. ТЕПЛОВІ ВЛАСТИВОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ. ФАЗОВІ ПЕРЕХОДИ
Стала кристалічної решітки кубічної системи
, (1.192)
де 
— кількість однакових атомів у хімічній формулі кристалічного тіла; 
— кількість однакових атомів, які утворюють елементарну комірку; 
— густина кристала; 
— число Авогадро; 
— молярна маса речовини.
Відносна зміна довжини при зміні температури на ДТ
, (1.193)
де 
— початкова довжина; 
— зміна довжини; 
— коефіцієнт лінійного теплового розширення.
Для твердих ізотропних тіл 
, де 
— коефіцієнт об'ємного теплового розширення.
Молярна теплоємність хімічно простих твердих тіл в класичній теорії теплоємності (закон Дюлонга — Пті)
. (1.194)
Кількість теплоти, яка передається твердими тілами внаслідок теплопровідності,
, (1.195)
де 
— коефіцієнт теплопровідності; 
- градієнт температури в напрямі, перпендикулярному до поверхні, площа якої 
; 
— час процесу теплопередачі.
Теплопередача від одного середовища до іншого через площу 
за час 
, (1.196)
де 
— коефіцієнт тепловіддачі.
Рівняння Клапейрона — Клаузіуса для зміни температури плавлення 
при зміні тиску 
буде
, (1.197)
де 
— питомі об'єми речовини відповідно в твердому і рідкому станах; 
— температура плавлення; 
— питома теплота плавлення.
Розділ III ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ
§ 18. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ
За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди q1 і q2, визначається за формулою
, (2.1)
де r — відстань між зарядами; 
— відносна діелектрична проникність середовища 
= 8,854*10-12 Ф/м - електрична стала.
Об'ємна густина заряду
, Кл/м3. (2.2)
Поверхнева густина заряду
, Кл/м2. (2.3)
Лінійна густина заряду
. (2.4)
Напруженість 
і потенціал 
у даній точці поля
, 
(2.5)
де F - сила, з якою поле діє на пробний заряд 
, 
- робота по переміщенню пробного заряду із нескінченності у дану точку полю.
Напруженість і потенціал поля, створеного точковим зарядом q на відстані r від заряду,
. (2.6)
Напруженість результуючого поля системи n зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених кожним з цих зарядів окремо,
, (2.7)
За теоремою Остроградського - Гаусса потік напруженості та потік електричної індукції 
(де 
- вектор поляризації) через довільну замкнену поверхню
, (2.8)
дe 
- алгебраїчна сума зарядів, які знаходяться всередині замкненої поверхні, при цьому циркуляція вектора напруженості по замкненому колу дорівнює
. (2.8,а)
Модуль напруженості поля, створеного рівномірно зарядженою нескінченною площиною,
. (2.9)
Модуль напруженість поля, створеного різнойменне зарядженими паралельними нескінченними площинами (поле плоского конденсатора),
. (2.10)
Модуль напруженості поля, створеного зарядженою нескінченно довгою ниткою,
, (2.11)
де а - відстань від нитки до точки, в якій визначається напруженість.
Напруженість поля, створеного нескінченно довгим рівномірно зарядженим циліндром,
, (2.12)
де r відстань від осі циліндра до точки, в якій визначається напруженість.
Модуль напруженості електростатичного поля сфери радіуса R, заряд q якої рівномірно розподілений по її поверхні, на відстані r від центра:
(2.13)
Модуль напруженості поля кулі радіуса R., рівномірно зарядженої по об'єму, на відстані r від центра:
(2.14)
Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:
. (2.15)
Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість
, (2.16)
де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.
§ 19. ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ
Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала
, (2.17)
де 
— електрична ємність провідника.
Ємність плоского і циліндричного конденсаторів:
, (2.18)
де 
— площа кожної пластини; 
— висота коаксіальних циліндрів; 
і 
— радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндрів відповідно.
Ємність сферичного конденсатора
, (2.19)
де і — радіус внутрішньої і зовнішньої сфер.
Ємність провідної кулі радіуса г
. (2.20)
При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорывнюэ
, (2.21)
при послідовному з'єднанні
. (2.22)
Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника
. (2.23)
Для плоского конденсатора
, (2.24)
де 
— об'єм, обмежений пластинами конденсатора.
Об'ємна густина енергії електричного поля
, (2.25)
де 
- електричне зміщення, Кл/м2.
Сила притягання пластин плоского конденсатора
. (2.26)
§ 20. ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ
Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу
. (2.27)
Силу постійного струму визначають із співвідношення
. (2.28)
Густину струму вимірюють відношенням сили струму до площі поперечного перерізу провідника
. (2.29)
Закон Ома для ділянки електричного кола
, (2.30)
де 
— різниця потенціалів на кінцях ділянки; 
— опір цієї ділянки.
Опір циліндричного провідника довжиною 
та площею поперечного перерізу 
, (2.31)
де 
— питомий опір.
Питомий опір провідника залежить від його температури
, (2.32)
де 
— питомий опір при 0 °С; 
— температурний коефіцієнт опору.
Закон Ома для неоднорідної ділянки кола
. (2.33)
де 
— напруга на даній ділянці кола; 
— сума всіх опорів ділянки; 
— ЕРС джерела струму.
Закон Ома в диференціальній формі
, (2.34)
де 
— питома електропровідність матеріалу.
Закон Ома для повного кола
, (2.35)
де 
— зовнішній опір; 
— внутрішній опір.
Робота струму на ділянці кола
. (2.36)
Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу
. (2.38)
Потужність повного електричного кола
. (2.39)
Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму
. (2.40)
Кількість теплоти 
, що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),
. (2.41)
Закон Джоуля — Ленца в диференціальній формі
, (2.42)
де 
— питома густина теплової потужності.
