Рассмотрим сходящийся числовой ряд

1 2 3 4 5 6

Его сумма

и при достаточно больших можно приближенно полагать

причем точность такой замены будет повышаться с ростом . Для оценки точности введем понятие остатка ряда.

Определение. Разность между суммой ряда и его -ой частичной суммой называется n -ым остатком ряда:

Очевидно, для сходящегося ряда

Для оценки остатка ряда существуют следующие теоремы (которые мы приводим без доказательства)

Теорема 1. (об оценке остатка знакоположительного ряда) Если все члены сходящегося знакоположительного ряда

не превосходят соответствующих членов другого сходящегося знакоположительного ряда

то -й остаток первого ряда не превосходит -го остатка второго ряда.

Теорема 2. (об оценке остатка знакопеременного ряда) Пусть знакопеременный ряд

абсолютно сходится. Тогда его -й остаток по абсолютной величине не превосходит -го остатка ряда, составленного из абсолютных величин его членов.

Теорема 3. (об оценке остатка знакочередующегося ряда) Абсолютная величина -го остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница, не превышает модуля первого из отброшенных членов, т. е. .

Пример 15. Вычислить сумму ряда с погрешностью не более 0.001

Решение. Выпишем несколько первых членов ряда

Так как это знакочередующийся ряд, то погрешность, возникающая при обрывании ряда, не превышает абсолютной величины первого из отбрасываемых членов. Проводя оценки

, , ,

видим, что для достижения требуемой точности достаточно учесть пять первых членов. Таким образом, с погрешностью не более 0.001:

Лекция 4.

Функциональные ряды

4.1 Понятие функционального ряда. Область сходимости

Определение 1. Ряд, вида

, (1)

члены которого являются функциями переменного , называется функциональным рядом.

Если ряд (1) сходится при некотором , то точка называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости ряда образует область сходимости ряда. В общем случае область сходимости может быть весьма сложной и состоять из совокупности интервалов. Определение области сходимости можно проводить применяя какой либо признак сходимости знакоположительных рядов, например, признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (1). В интервалах сходимости функциональный ряд (1) сходится абсолютно. Чтобы исследовать сходимость на концах интервалов сходимости, следует подставить в ряд вместо значения концевых точек интервалов и исследовать сходимость получившихся числовых рядов.

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. При любом фиксированном получаем обобщенный гармонический ряд вида . Этот ряд сходится, если . То есть, областью сходимости ряда является интервал . В точке ряд принимает вид: . Это расходящийся гармонический ряд. Итак, окончательно, областью сходимости заданного ряда служит интервал .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Прежде всего, заметим, что ряд расходится, если , так как в этом случае , то есть не выполняется необходимый признак сходимости. Пусть . Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда, находим, что этот ряд сходится, если

то есть при . Таким образом, ряд абсолютно сходится в интервалах и , и расходится вне этих интервалов.

4.2 Равномерная (правильная) сходимость функционального ряда

Пусть сумма ряда (1).

Определение 2. Функциональный ряд называется равномерно (правильно) сходящимся в некотором интервале , если для любого найдется такой номер , что для всех и всех выполняется неравенство

(2)

Можно сказать, что равномерная сходимость означает, что ряд сходится к своей сумме одинаково быстро при любом . Особое значение равномерно сходящиеся ряды имеют в связи с тем, что на них переносятся многие свойства конечных сумм. Это следует из теорем:

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося ряда являются непрерывными в интервале функциями переменного , то его сумма также является непрерывной в этом интервале функцией.

Доказательство. ►Чтобы доказать непрерывность функции в точке , нужно показать, что найдется такая точка , что разность будет меньше любого наперед заданного числа . Исходя из тождества

где я частичная сумма ряда, составим неравенство

. (3)

Пусть произвольное сколь угодно малое число. Выберем настолько близким к чтобы одновременно выполнялись неравенства

, , .

Справедливость первого и второго неравенств вытекает из равномерной сходимости ряда. Справедливость третьего следует из непрерывности конечных сумм непрерывных функций. Но тогда из (3) немедленно следует

, (4)

что и требовалось доказать. ◄

Теорема 2. Если ряд сходится к равномерно и его члены интегрируемы в интервале то сумма ряда также интегрируема в интервале , причем

. (5)

Доказательство. ►В силу равномерной сходимости ряда для любого найдется такой номер , что для всех имеет место неравенство (2) при любом . Но тогда

, (6)

а это означает, что последовательность частичных сумм ряда стремится к числу , что и требовалось доказать. ◄

Теорема 3. Пусть ряд сходится к в интервале и его члены непрерывно дифференцируемы в этом интервале. Тогда, если ряд

, (7)

составленный из производных членов исходного ряда, сходится равномерно в интервале , то сумма ряда дифференцируема, причем в каждой точке справедливо равенство

. (8)

Доказательство. ►Обозначим сумму ряда (7) . В силу предыдущей теоремы имеем равенство

или

Дифференцирование средней и правой частей этого равенства дает , ч.т.д. ◄

На практике, для установления равномерной сходимости функционального ряда, удобно применять признак Вейерштрасса:

Теорема 4 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Функциональный ряд сходится равномерно в интервале , если существует такой сходящийся знакоположительный ряд , что во всех точках интервала выполняются неравенства .

Доказательство. ►Согласно признаку сравнения ряд сходится в интервале абсолютно. Пусть его сумма. Тогда для -го остатка ряда можем записать

. (9)

Так как числовой ряд сходится, то для любого можно найти такой номер , что . Но тогда, в силу (9), неравенство будет иметь место при любом из интервала , что и доказывает равномерную сходимость ряда . ◄

Пример 3. Показать, что ряд равномерно сходится на всей числовой оси.

Решение. Преобразуем общий член ряда воспользовавшись неравенством , которое выполняется для любых действительных чисел , :

откуда, при , следует, что

Так как неравенство выполняется для всех , а ряд сходится, то исходный ряд равномерно сходится на всей числовой оси.

Пример 4. Найти сумму ряда .

Указание: Воспользоваться формулой (см. формулу (32))

Решение. Пусть сумма ряда, то есть

Так как в области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, то

Согласно формуле (32), , так что:

Но тогда

Лекция 5.

5.1 Степенные ряды

Определение 3. Степенным рядом называется функциональный ряд, вида

.(10)

Числа называются коэффициентами ряда.

Вопрос о сходимости степенного ряда решается теоремой Абеля.

Теорема 5. 1). Если степенной ряд (10) сходится при некотором значении не равном нулю, то он абсолютно сходится при любом значении , таком, что .

2). Если ряд (10) расходится при некотором значении , то он расходится и при всяком для которого .

Доказательство. ►1). Так как точка сходимости, то числовой ряд

(11)

сходится. Следовательно, его общий член при . Но тогда существует такое положительное число , что

(12)

Перепишем ряд (11) в виде

. (13)

В силу неравенств (12), члены этого ряда по абсолютной величине меньше членов ряда

представляющего собой геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как прогрессия сходится когда ее знаменатель по модулю меньше единицы, то отсюда следует, что при , ряд (13), (а следовательно, и ряд (11)) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

2). Доказательство второй части теоремы очевидно. Если ряд расходится в точке , то он должен расходиться и при любом таком, что , так как в противном случае, в силу первой части теоремы, точка была бы точкой сходимости, что противоречит условию. ◄

Следствие. Областью сходимости степенного ряда (11) является интервал , где , так называемый, радиус сходимости, с центром в начале координат.

Доказательство. ►Действительно, если точка сходимости, то все точки интервала являются точками абсолютной сходимости ряда.. Если точка расходимости, то все точки интервалов , тоже являются точками расходимости. Но тогда, очевидно, должно существовать такое положительное число , что при ряд абсолютно сходится, а при расходится. ◄

Число , и есть радиус сходимости степенного ряда. Его можно найти, применив к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (11), например, признак Даламбера. Согласно этому признаку, ряд будет сходиться, если

(14)

Вычисляя предел, находим

То есть степенной ряд (11) будет сходиться абсолютно при всех , таких, что , где , так что радиус сходимости ряда равен

. (15)

Вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости решается индивидуально для каждого из концов. С этой целью следует подставить в ряд значения и и исследовать сходимость получившихся числовых рядов.

Отметим, что в интервале абсолютной сходимости степенной ряд сходится равномерно. Это следует из теоремы:

Теорема 6. Если степенной ряд

(*)

сходится в интервале и произвольное число такое, что , то в интервале ряд сходится равномерно.

Доказательство. ► Так как степенной ряд сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости, то в точке знакоположительный ряд

(**)

сходится. Если - произвольная точка интервала , то и ряд (**) является мажорантой для ряда (*) и, следовательно, последний сходится в интервале равномерно. ◄

Следствие. В области абсолютной сходимости

а) сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной ;

б) степенной ряд можно почленно дифференцировать;

в) степенной ряд можно почленно интегрировать.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Используя формулу (15), находим радиус сходимости

то есть ряд абсолютно сходится в интервале .Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: Полагая , получаем расходящийся гармонический ряд .Полагая , получаем знакочередующийся ряд . Этот ряд сходится условно, так как он сходится по признаку Лейбница как знакочередующийся ряд, но ряд составленный из модулей его членов расходится. Итак, рассматриваемый ряд абсолютно сходится в интервале и условно сходится в точке .

5.2 Ряды по степеням разности

Часто приходится рассматривать степенные ряды по степеням разности , вида

(16)

Такой ряд заменой переменной сводится к степенному ряду типа (10). И если область абсолютной сходимости последнего , то областью сходимости ряда (16), очевидно, будет интервал с центром в точке . Сходимость на концах интервала исследуется индивидуально для каждого конца.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применяя признак Даламбера к ряду составленному из модулей членов данного ряда, находим:

откуда следует, что ряд абсолютно сходится в интервале . Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть . Общий член ряда равен . Используя формулу Стирлинга , убеждаемся, что при больших и не стремится к нулю при , то есть необходимый признак сходимости не выполняется и, следовательно, ряд расходится. Аналогично убеждаемся, что по этой же причине ряд расходится и на втором конце интервала. Таким образом, ряд абсолютно сходится в интервале и расходится вне него.

Лекция 6.

6.1 Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть сумма степенного ряда

. (17)

Выразим его коэффициенты через значения функции и ее производных в точке . Последовательно дифференцируя, получаем:

, , , , , ,

так, что

, , , , , , ,

и ряд (10) принимает вид

. (18)

Пусть теперь некоторая заданная функция. Если эта функция дифференцируема бесконечное число раз, то для нее могут быть вычислены по приведенным выше формулам коэффициенты и составлен ряд вида

. (19)

Этот формально составленный ряд может а) расходиться, б) сходиться, но не к функции , и, наконец, самый важный для приложений случай, в) сходиться к функции . Установить характер сходимости ряда можно с помощью величины

(20)

называемой м остаточным членом ряда. Доказано, что если для некоторого выполняется условие , при и всех таких, что , то ряд (19) сходится к функции на множестве . Для этого случая из (20) получаем

, (21)

при этом остаточный член может быть представлен в виде

(22)

где некоторая точка, заключенная между и , и называется. м остаточным членом ряда в форме Лагранжа. Ряд (21) называется рядом Тейлора функции . Отметим, что точку в (22) часто удобнее определять формулой , где - параметр, заключенный в пределах .

В частном случае, когда , ряд (21) принимает вид

(23)

и называется рядом Маклорена. Остаточный член для ряда Маклорена имеет вид:

. (24)

6.2 Разложение в ряд Маклорена функций , , ,

Для дальнейшего будет необходима лемма:

Лемма. При любом конечном

(25)

Доказательство. ►Пусть, для определенности, . Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится по признаку Даламбера:

и, следовательно, для него выполняется необходимый признак сходимости, т.е.

что и требовалось доказать. ◄

1). Разложение в ряд Маклорена функции .

Значения функции и ее производных в точке равны:

, ,

....................................................................

, ,

так что ряд Маклорена принимает вид

Радиус сходимости этого ряда

то есть ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Покажем, что остаточный член ряда стремится к нулю при . Это будет означать, что ряд имеет суммой . Действительно,

при

в силу леммы. Поэтому

. (26)

2). Разложение в ряд Маклорена функции .

Находим:

..............................................................................

и получаем ряд

в котором члены с четными отсутствуют. По этой причине удобно положить , . Учитывая также, что

перепишем ряд в виде

Покажем, что остаточный член стремится к нулю при . В самом деле,

в силу леммы. Таким образом,

. (27)

Убедитесь, что ряд сходится на всей числовой оси.

3). Разложение в ряд Маклорена функции .

Разложение этой функции в ряд Маклорена проводится аналогично предыдущему и ряд имеет вид

. (28)

4). Разложение в ряд Маклорена функции .

Разложение логарифмической функции в ряд Маклорена проводится по общему правилу, без каких-либо особенностей, и ряд имеет вид

(29)

Радиус сходимости этого ряда равен

6.3 Разложение в ряд Маклорена функции (биномиальный ряд)

Вычисляя значения функции и ее производных в точке находим:

................................................................................................................

и получаем ряд

(30)

где обозначено

Если - целое положительное число, биномиальный ряд вырождается в конечную сумму:

: ,

: , и т.д.

Если не целое положительное число, то число членов в ряде бесконечно. Найдем его интервал сходимости. Воспользовавшись признаком Даламбера, получаем:

откуда и следует, что ряд абсолютно сходится в интервале . Сходимость на концах интервала сходимости исследуется индивидуально для каждого конца и зависит от значения числа .

Приведем важные частные случаи формулы (30).

(31)

. (32)

Лекция 7.

7.1 О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды

На практике, коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена часто находят используя формулы (26) - (32) и применяя различные приемы, такие как: представление заданной функции в виде линейной комбинации основных элементарных функций, замена переменной, почленное дифференцирование и интегрирование рядов, метод неопределенных коэффициентов и др.

Пример 7. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Представим функцию в виде суммы элементарных дробей

Сравнивая многочлены в числителях, находим . Переписывая дробь в виде

и используя ряды (31) и (32) с соответствующими заменами переменной, получаем:

Пример 8. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Преобразуем функцию: . Обозначим , тогда и

Применяя формулу (28), и проводя обратную замену, получаем искомое разложение:

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся интегральным представлением функции и формулой (31)

Степенной ряд сходится в интервале и в этом интервале его можно почленно интегрировать:

так, что окончательно:

Область сходимости ряда - интервал .

7.2 Применение рядов для приближенных вычислений

Если некоторая функция разложена в ряд Тейлора в окрестности точки и — радиус сходимости этого ряда, то для всякого имеет место равенство

Поскольку при , то при больших значения многочлена отличаются от значений функции не более чем на величину которая, в принципе, может быть оценена. На этом факте и основано применение рядов для приближенных вычислений.

7.3 Приближенные вычисления значений функций

Пример 10. Вычислить число с погрешностью .

Решение. Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена,

из которого при получаем:

Чтобы определить сколько членов следует взять для достижения требуемой точности, оценим остаточный член , где . При получаем:

откуда находим, что уже при , . Таким образом,

7.4 Приближенные вычисления интегралов

Пример 11. Вычислить с погрешностью определенный интеграл

Решение. Используя разложение в ряд Маклорена функции , получаем ряд:

Интегрируя его почленно на отрезке , находим

где учтено, что .

Результат представляет собой разность двух сходящихся знакочередующихся рядов. Чтобы обеспечить требуемую точность, каждый из этих рядов должен быть вычислен с погрешностью не более . Согласно теореме об оценке остатка знакочередующегося ряда, остаток не превышает по величине модуля первого из отбрасываемых членов. Так как , но и , а , то с требуемой точностью, получаем

7.5 Решение дифференциальных уравнений

Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка

(33)

и требуется найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, . (34)

Если функции представляются степенными рядами вида

, (35)

сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки , то существует единственное решение задачи Коши, представимое в виде степенного ряда

, (36)

сходящегося в некоторой окрестности точки .

Находя из (36) с помощью дифференцирования степенные ряды для и , подставляя в уравнение вместо их разложения и производя необходимые арифметические действия над степенными рядами, вместо уравнения (33) получим равенство двух степенных рядов. Из этого равенства можно последовательно найти коэффициенты ряда (36) и, тем самым получить решение задачи Коши.