2017-11-01
3753
Пример 9.1 (2299) Вычислим массу правого лепестка лемнискаты 
, если линейная плотность в каждой точке кривой 
.
Решение. Построим правую часть лемнискаты. Она лежит в секторе 
. (См. рис.9.2)
Воспользуемся формулами (9.10) и (9.12). 
Упростим подкоренное выражение.
, 
.
| Рисунок 9.2 |
. И учитывая, что 
, подставим всё в рабочую формулу: 
После вычисления интеграла получим искомую массу 
.
Обратите внимание на то, что несмотря на симметричную форму лепестка лемнискаты, при составлении интеграла нельзя использовать эту симметрию, так как функция плотности не является чётной на интервале 
.
Пример 9.2. (2307) Найдём координаты центра тяжести полуарки циклоиды
. Линейную плотность кривой будем считать равной единице.
Решение. Построим эскиз к задаче (см. рис. 9.3). Параметр 
вдоль кривой меняется от 
до 
. Воспользуемся формулами (9.9), (9.12), (9.14) при 
. Вычислим 
.
Т.к. 
| Рисунок 9.3 |
Подставим полученное выражение в формулы.
Массапо формуле (9.12):
По формулам (9.14) вычислим координаты искомой точки.
. Ответ: 
Пример 9.3. Вычислим момент инерции материальной кривой, которая является пересечением полусферы 
и плоскости 
, если плотность 
. Решение. Построим обе заданные поверхности и линию их пересечения 
(см. рис. 9.4).
| Рисунок 9.4 |
. (см. (9.15)) Кривая задана уравнениями 
при 
.
Перейдём к её параметрическому заданию. Заметим, что для точек кривой выполняются уравнения 
. Тогда пусть 
при 
. (см. примечание б)) При этом дифференциал дуги кривой 
, плотность 
. Подставляем всё в рабочую формулу: 
. И после вычисления интеграла получаем ответ: 
.
Занятие 10.
Определение криволинейного интеграла второго рода. Теорема существования и свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла для случаев явно заданной функции и параметрически заданной функции. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки А в точку В вдоль кривой АВ. ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.2, ОЛ-4 гл. 3 § 10
Практика: ОЛ-6 №№ Л 6 №№ 2310, 2313, 2314, 2315, 2325 или ОЛ-5 №№ 10.72, 74, 76, 78.
Домашнее задание к занятию 10: ОЛ-6 №№ 2312, 2316, 2322, 2324 или ОЛ-5 №№ 10.71, 73, 77, 81.
