2017-11-01
1948
1.Если кривая задана в пространстве как пересечение двух поверхностей 
, то можно выразить из системы уравнений этих поверхностей две переменные через третью, например, 
. Тогда длина отрезка прямой 
и
. (9.8)
2.Если кривая задана параметрически уравнениями: 
, то длина отрезка прямой 
, и
(9.9)
3.Если задана плоская кривая и в каждой её точке определена функция 
, то формулы (9.8) и (9.9) упрощаются: 
, (9.8а) 
. (9.9а)
4.Если на плоскости кривая задана в полярной системе уравнением 
, то
(9.10)
Примечание. а) Если контур интегрирования – отрезок прямой, соединяющий точки 
и 
, то уравнения этого контура имеют вид 
. б) Если контуром интегрирования является эллипс 
, то удобно перейти к параметрическому заданию этой кривой, где 
(частный случай – окружность с 
). 
Теорема существования криволинейного интеграла 1 рода.
Если 
– кусочно-гладкая кривая и функция 
непрерывна на ней, то существует криволинейный интеграл I-го рода от этой функции (функция интегрируема по кривой ), то есть существует предел 
и он не зависит от способа разбиения кривой на части и от выбора промежуточных точек.
5.Физические приложения криволинейного интеграла первого рода.
А) Масса материальной кривой.
Если 
- линейная плотность кривой, то масса этой кривой 
(9.12)
б) Статистические моменты плоской кривой относительно осей 
и 
.
(9.13)
