2017-11-01
5665
Б.Т. Добрица, И.В. Дубограй, О.В. Скуднева.
Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля.
методическое пособие к практическим занятиям.
Москва
Занятие 9. Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, основные свойства, вычисление с помощью определенного интеграла. Формулировка теоремы существования криволинейного интеграла первого рода, независимость вычисления от направления обхода кривой. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода: масса кривой, статистические моменты кривой относительно осей 
и 
; моменты инерции кривой. ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.2, ОЛ-4 гл.3§ 9
Практика: ОЛ-6 №№ 2293, 2295, 2296, 2299, 2306, 2307 или ОЛ-5 №№
Определение криволинейного интеграла 1-ого рода.
| Рисунок 9.1 |
| Рисунок 9.2 |
| ок 9. 3 |
, в каждой точке М которой задана функция 
. Разобьём эту кривую на 
малых частей точками 
так, чтобы в точках каждой части 
значение функции 
можно было считать постоянным, а сама часть могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 9.1). Пусть 
- длина i-ой части разбиения. На каждой части выберем произвольную точку 
и|
|
|
составим интегральную сумму 
. Определение. Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы (если он существует) при неограниченном увеличении числа разбиений и стремлении длины каждой части к нулю.
. (9.1)
Свойства криволинейного интеграла 1 рода.
1. Независимость значения криволинейного интеграла первого рода от направления движения точки по кривой:
(9.2)
2. Свойство линейность криволинейного интеграла:
(9.3)
3. Свойство аддитивности:
(9.4)
4. Свойство монотонности. Если 
на кривой АВ, то 
(9.5)
5. Теорема о среднем. Если 
непрерывна на кривой АВ, то существует число ζ такое, что 
(9.6)
6. Криволинейный интеграл от единичной функции равен длине кривой:
(9.7)
