Свойства криволинейного интеграла 1 рода

Б.Т. Добрица, И.В. Дубограй, О.В. Скуднева.

 

Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля.

методическое пособие к практическим занятиям.

 

 

Москва

 

 

Занятие 9. Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, основные свойства, вычисление с помощью определенного интеграла. Формулировка теоремы существования криволинейного интеграла первого рода, независимость вычисления от направления обхода кривой. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода: масса кривой, статистические моменты кривой относительно осей и ; моменты инерции кривой. ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.2, ОЛ-4 гл.3§ 9

Практика: ОЛ-6 №№ 2293, 2295, 2296, 2299, 2306, 2307 или ОЛ-5 №№

Определение криволинейного интеграла 1-ого рода.

Рисунок 9.1

Рисунок 9.2

ок 9. 3

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую , в каждой точке М которой задана функция . Разобьём эту кривую на малых частей точками так, чтобы в точках каждой части значение функции можно было считать постоянным, а сама часть могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 9.1). Пусть - длина i-ой части разбиения. На каждой части выберем произвольную точку и

 

составим интегральную сумму . Определение. Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы (если он существует) при неограниченном увеличении числа разбиений и стремлении длины каждой части к нулю.

. (9.1)

 

Свойства криволинейного интеграла 1 рода.

 

1. Независимость значения криволинейного интеграла первого рода от направления движения точки по кривой:

(9.2)

2. Свойство линейность криволинейного интеграла:

(9.3)

3. Свойство аддитивности:

(9.4)

4. Свойство монотонности. Если на кривой АВ, то (9.5)

5. Теорема о среднем. Если непрерывна на кривой АВ, то существует число ζ такое, что (9.6)

6. Криволинейный интеграл от единичной функции равен длине кривой:

(9.7)