Зависимости между деформациями, напряжениями и изгибающим моментом

На основании гипотезы плоских сечений можно видеть (рис.1.5), что относительное удлинение волокна , отстоящего на от нейтральной оси будет равно:

(1.1)

где - радиус кривизны балки в рассматриваемом сечении

	Рис.1.5. Схема изгиба балки

Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной и производными от существует зависимость

В силу принятого допущения о малости углов поворота для достаточно жестких балок, величина мала по сравнению с единицей, можно считать, что

(1.2)

Подставляя из (1.2) в (1.1), получим

(1.3)

Нормальные напряжения от изгиба на основании закона Гука будут равны

(1.4)

Поскольку из определения балок следует, что продольное, направленное вдоль оси балки, усилие отсутствует, главный вектор нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е.

(1.5)

где - площадь поперечного сечения балки.

Из (1.5) получаем, что статический момент площади сечения балки равен нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести.

Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно нейтральной оси, будет

(1.6)

Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси равен , подставив это значение в (1.6) получим зависимость, которая выражает основное дифференциальное уравнение изгиба балки

(1.7)

Момент внутренних усилий в сечении относительно оси будет

Поскольку оси и по условию являются главными центральными осями сечения, то и

Отсюда следует, что при действии нагрузки в плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет плоской кривой. Такой изгиб называется плоским. На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим

(1.8)

Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок пропорциональны отстоянию от нейтральной оси балки. Естественно, что это вытекает из гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки

(1.9)

где абсолютное значение отстояния наиболее удаленного волокна от нейтральной оси. Тогда

(1.10)

В дальнейшем нижние индексы для упрощения опущены.