Пример. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить её график.
Решение. Проведём исследование заданной функции:
1)Найдём производную заданной функции .
2)Найдём интервалы возрастания и убывания функции, решив неравенства и соответственно.
, ,
при и , следовательно, при этих значениях x функция возрастает.
при следовательно, при этих значениях x функция убывает.
3) Найдём точки экстремумов функции: при и
При переходе через точку знак меняется с «+» на «-», следовательно, точка является точкой максимума функции, причём
При переходе через точку знак меняется с «-» на «+», следовательно, точка является точкой минимума функции, причём .
4) Найдём и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, решив неравенства и соответственно.
; при , то есть при следовательно, при график функции выпуклый; при , следовательно, при график функции вогнутый. Точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, следовательно, является точкой перегиба графика функции, причём
|
|
5) Так как функция определена при всех значениях , то её график не имеет точек разрыва и, следовательно, не имеет вертикальных асимптот.
Так как то наклонных асимптот график функции не имеет.
6) Строим график функции
Исследовать функцию и построить её график.
Решение. 1) Область определения .
2) Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.
3) Функция чётная, так как :
.
График функции симметричен относительно оси ординат.
4) Экстремумы и интервалы монотонности.
. Из уравнения получим три критические точки: . Исследуем характер критических точек. Для этого методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (- ∞; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; + ∞).
На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция убывает, на интервалах (-1; 0) и (1; +∞) – возрастает. При переходе через критические точки x1 = -1 и х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этих точках функция имеет минимум. ; .При переходе через критическую точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум уmax = ƒ(0)=5.
5) Интервалы выпуклости и точки перегиба.
. Из уравнения получим и . Определяем знак второй производной в каждом из интервалов:
, , .
Таким образом, кривая, вогнутая на интервалах и и выпуклая на интервале , а , – точки перегиба.
;
.
6) Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: , ;
.
Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.
7) Дополнительные точки, уточняющие график:
|
|
; . Построим график функции:
Варианты практической работы
Исследовать функцию и построить график.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Литература:
1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. - М.: Издательский центр "Академия", 2011. -304 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Наука, 1990.
3. Григорьев В. П. Элементы высшей математики. – М.: Издательский центр «Академия», 2004
4. Спирина М. С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Издательский центр «Академия», 2007