Формирование и оптимизация инвестиционного портфеля

Основная цель, которую преследуют инвесторы, заключается в сохранении и приросте вложенных инвестиционных средств при допустимом риске. Прямая зависимость доходности ценных бумаг от риска позволяет использовать различные математические и статистические методы для повышения эффективности вложенного капитала. Риск инвестиций можно снизить путем диверсификации, то есть путем распределения вложений между различными фондовыми активами.

В теории портфельного инвестирования исходят из того, что значения доходности отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины d необходимо знать, какие фактические значения d_i принимает данная величина, и какова вероятность Р_i каждого подобного результата. При этом инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного, холдингового периода, то есть будущиезначения d_i, которые в начальный момент инвестирования неизвестны. Значит, инвестор должен оперировать ожидаемым, будущимраспределением случайной величины d.

Существуют два подхода к построению распределения вероятностей – субъективный и объективный, или исторический. При использовании субъективного подхода инвестор, прежде всего, должен определить возможные сценарии развития экономической ситуации в течение периода владения, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги.

Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку позволяет оценивать сразу будущиезначение доходности. Однако, он не находит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидаемую при этом доходность.

Чаще используется объективный, или историческийподход. В его основе лежит предположение о том, что распределение вероятностей будущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением вероятностей уженаблюдавшихсяфактических, исторических величин.

Значит, чтобы получить представление о распределении случайной величины dв будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени в прошлом. Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток 7-10 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероятность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при N наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет величину 1/N. Например, если исследуется доходность акции за предшествующие 108 лет, то вероятность каждой годовой доходности d_iсоставляет 1/8.

Наиболее часто в теории инвестиционного портфеля используется среднее арифметическоезначение случайных величин. Напомним, что если d_t(t = 1,2,…,N) представляют собой значения доходности в конце t – го периода владения, а P_t – вероятности данных значений доходности, то:

где

E(d) – среднее арифметическое значение доходности;

P_t – вероятности данных значений доходности;

d_t - значения доходности;

N – количество лет, в течение которых велись наблюдения.

В случае объективного подхода P_t = 1/N, поэтому формула примет вид:

Наиболее часто риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии σ² и стандартного отклоненияσ.

Под ожидаемой доходностьюпортфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом удельный вес каждой ценной бумаги определяется относительным количеством средств, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

где

E(d_p) – ожидаемая норма отдачи портфеля;

W_i – доля (вес) общих инвестиционных расходов, идущая на приобретение i-ой ценной бумаги;

E(d_i) – ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги;

n – число ценных бумаг в портфеле.

При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзянайти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной ценной бумаги на изменения доходности других финансовых инструментов, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариацияозначает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

Если рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация исчисляется по формуле:

где

σ_i,j – ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

d_i,t и d_j,t – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t;

E(d_i), E(d_j) – ожидаемая (среднеарифметическая) доходность ценных бумаг i и j;

N – общее количество лет наблюдения.

Степень взаимосвязи двух случайных величин определяют с помощью относительнойвеличины – коэффициента корреляции ρ_ij:

Риск инвестиционного портфеля определяют с помощью дисперсии. Если в исследуемый портфель входит n ценных бумаг; то дисперсию портфеля вычисляют по формуле:

или:

Решение проблемы оптимального распределения долей капитала между ценными бумагами, сводящего общий риск к минимальному уровню, и составление оптимального портфеля было предложено в 50-е годы ХХ века американским ученым Г. Марковицем. Формализованная модель Г. Марковица, а также разработанная в начале 60-х годов модель В Шарпа, позволяет добиваться формирования такого инвестиционного портфеля, который бы отвечал потребностям и целям каждого индивидуального инвестора. Как любая формализованная модель, указанные модели имеют ряд допущений и могут быть реализованы только при определенных условиях. На фондовом рынке современной России зачастую отсутствуют необходимые условия.

В модели Марковица предполагается что:

инвестирование является однопериодовым процессом. Это означает, что полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется;

существует эффективный рынок ценных бумаг. Под нимпонимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг. На рынке существует мгновенная реакция на появление новой информации;

значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. Поэтому инвестор, формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(d) – ожидаемую доходность и σ – стандартное отклонение как меру риска. Только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении. Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность dпри допустимом значении риска σ. Какой при этом конкретныйпортфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Решение проблемы выбора оптимального портфеля основано на теореме о существовании эффективного набора портфелей, лежащем на границе эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образуют так называемую границу эффективности. Эффективный портфель– это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(d) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым или несистематическимриском. Риск, который не устранятся диверсификацией, называется недиверсифицируемымили систематическогориска.

Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей (можно сформировать бесконечное количество портфелей), имеющих одну и ту же доходность. Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой доходностью E(d_n) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Математически задача инвестора сводится к нахождению минимального значения дисперсии портфеля.

=

при заданных начальных условиях:

; и

Для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(d_i), где i = 1, 2,…, n каждойценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации , где i,j = 1, 2,…, n.

Если подставить значения E(d_i), σ_i и σ_i,j в вышеприведенные формулы, то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины W_i – удельный вес каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему. Для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения W_i, (величину инвестиционных затрат на приобретение той или иной ценной бумаги) при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным.

В модели Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(d) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Отношение одного инвестора к риску отличается от другого инвестора, поэтому разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(d) и σ. Поэтому, говоря об оптимальномпортфеле, надо иметь в виду, что эта субъективная индивидуальная категория. Оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее, каждый оптимальныйпортфель непременно является эффективным. Это связано с тем, что инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

На практике конкретный инвестор, построив границу эффективных портфелей, решает вопрос какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных портфелей он определяет стандартное отклонение (σ) такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой доходностью E(d). Тот портфель, который при установленной инвестором доходности E(d) даст наилучшее соотношение доходность-риск, будет оптимальным для данного инвестора.

У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В настоящее время он называется одноиндексной моделью Шарпа (Sharpe single-index model).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины – независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. В качестве переменных могут использоваться темпы роста ВНП, уровень инфляции, норма безработицы. Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи (r_m), вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной - отдачу i-ой ценной бумаги (d_i). Индекс S&P500 используется в качестве индекса, характеризующего рынок ценных бумаг в целом. Поэтому модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model),а норму отдачи r_m – рыночнойнормой отдачи.

Если норма отдачи r_m принимает случайные значения за N шагов расчета r_m1, r_m2,..., r_mN, а доходность d_i какой-то i-ой ценной бумаги имела значения d_i1, d_i2,..., d_iN, то линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами r_m и d_i в любой наблюдаемый момент времени в виде:

d_i,t = α_i + β_ir_m,t + ε_i,t

где

d_i,t - доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

α_i - постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг r_m;

β_i - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

r_m,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

ε_i,t - случайная ошибка, связанная с отклонениями реальных значений d_i,t и r_m,t от линейной зависимости.

Параметр β_i определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности. Eсли β_i>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность r_m. Соответственно, при β_i < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности d_i от средней арифметической (ожидаемой) величины E(d)_i, чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β < 1 - менее рискованными. Исходя из статистических данных для большинства ценных бумаг β > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной β.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

,

где: Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Или:

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

где: - сумма взвешенных величин “беты” (βi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) - портфельная бета (β_n)

Считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: .

Поскольку E(ε_i) = 0, то, ожидаемая доходность портфеля будет равна:

В результате ожидаемая доходность портфеля E(d_n) состоит из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров α_i каждой ценной бумаги – W₁α₁ + W₂α₂ +.... + W_nα_n, которая отражает вклад в E(d_n) самих ценных бумаг;

б) компоненты , произведение портфельной бетыи ожидаемой рыночной доходности, отражающее взаимосвязь рынкас ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

Поскольку , то а , то, дисперсия портфеля, содержащего n ценных бумаг, состоит из двух компонент:

а) риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск). Рассчитывается как средневзвешенная дисперсия ошибок , где весами служат W_i.

б) риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск) - Она считается как взвешенная величина дисперсии рыночного показателя ,ш где весом служит квадрат портфельной беты.

В модели Шарпа цель инвестора сводится к нахождению минимального значения дисперсии портфеля при следующих трех начальных условиях:

Для построения границы эффективных портфелей по методу Шарпа следует:

1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель.

2. Определить промежуток времени с N точками расчета, в течении которого будут наблюдаться значения доходности d_i,t каждой ценной бумаги.

3. По рыночному индексу (например, S&P500) вычислить рыночные доходности r_m,t для того же промежутка времени.

4. Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также значения ковариаций σ_i,m доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины β_i по формуле:

,

5. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги E(d_i) и рыночной доходности E(r_m)

6. Вычислить параметр α_i = E(d_i) - β_iE(r_m)

7. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели ().

8. Подставить эти значения в уравнения доходности и риска.

В результате неизвестными величинами окажутся веса ценных бумаг (W_i). Инвестор должен выбрать определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*. Тогда он сможет найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Формирования портфеля после его завершения уступает место процессу оперативного управления портфелем финансовых инвестиций.

Под оперативным управлением портфелем финансовых инвестиций понимается обоснование и реализация управленческих решений, обеспечивающих поддержание целевой инвестиционной направленности сформированного портфеля по параметрам его доходности, риска и ликвидности.

Изменение целей инвестора и объема инвестиционных ресурсов, значительные колебания конъюнктуры финансового рынка, изменение ставки ссудного процента, расширение предложения финансовых инструментов и ряд других условий вызывают необходимость текущей корректировки сформированного инвестиционного портфеля. Такая корректировка носит название "реструктуризации портфеля" и является основным содержанием процесса оперативного управления им на предприятии.