Спектр дискретизованного по времени сигнала

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Как было сказано выше, математическая модель сигнала представляет собой зависимость, в которой аргументами являются независимые переменные. Сигналы в непрерывном времени математически представляются как функции от непрерывной переменной. Дискретные сигналы определяются для дискретных значений переменной (например, в дискретные моменты времени) и представляются последовательностями чисел. Вдобавок к этому, амплитуда сигнала также может быть как непрерывной, так и дискретной. Дискретные сигналы с дискретной амплитудой называют цифровыми сигналами.

Дискретные сигналы могут появляться при получении выборок аналоговых сигналов или же они могут порождаться непосредственно некоторым дискретным во времени процессом. Вне зависимости от происхождения дискретных сигналов цифровые системы обработки таких сигналов обладают рядом полезных качеств. Они могут быть реализованы с большой гибкостью на универсальных цифровых вычислительных машинах с помощью цифровой аппаратуры. При необходимости их можно использовать для моделирования аналоговых систем или, что более важно, для преобразований сигнала, которые невозможно осуществить на аналоговой аппаратуре. Поэтому, когда требуется сложная обработка сигналов, часто желательно представить их в цифровом виде.

Переход к системам цифровой обработки сигналов является одной из основных тенденций современной радиоэлектроники. Это направление оказывает большое влияние на развитие теории и техники сигналов и систем.

Для получения спектра сигнала, представленного в цифровой форме, используется дискретное преобразование Фурье. Вычисление ДПФ, кроме одного из этапов цифровой фильтрации, имеет для многих практических применений самостоятельное значение.

Известно, что спектральная плотность дискретизованного по времени сигнала имеет периодическую структуру с периодом на оси частот (рис.2.3,б) [6, §2.13]. Этот спектр, как и спектр исходного (континуального) сигнала (рис. 2.3,а), является сплошным. Между тем при цифровой обработке сигналов осуществляется дискретизация и в частотной области. Это означает, что сплошной спектр представляется совокупностью своих значений на дискретных частотах . Подобный спектр для сигнала, длительность которого , показан на рис. 2.3,в.

Интервал между соседними спектральными линиями в соответствии с теоремой отсчётов [6, §2.12] не должен превышать Отсюда следует, что число отсчётов спектра в пределах одного его периода , т.е. такое же, как и число временных отсчётов.

Выражение спектральной плотности для сигнала, состоящего из N отсчётов, имеет вид

(2.42)

Подставляя в него , получаем соотношение

(2.43)

(при четном N).

Полученное выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Аргументы и часто обозначаются просто n и kT и заключаются в квадратные скобки. Окончательно ДПФ можно записать в форме

(2.44)

Выражение (2.44) является алгоритмом вычисления спектральных коэффициентов по заданным временным отсчётам .

При чётном N и действительных отсчётах

(2.45)

где - величина, комплексно-сопряженная

Из этого свойства ДПФ, в частности, следует, что при т.е. всегда действительное число. Это справедливо и для

На основе доказанных свойств ДПФ картину образования периодической структуры спектра можно пояснить построением показанным на рис. 2.4 (для N=8). Амплитудный спектр исходного континуального сигнала представлен на рис. 2.4,а. Весь диапазон разбит на N равных интервалов . Отсчётные точки на оси частот расположены в середине каждого интервала. На рис. 2.4,б представлено периодическое продолжение спектра. В точке n=N/2=4 - действительное число в очке n=N/2+1=5 спектральная плотность а по модулю и т.д. При n=N=8 начинается следующий период последовательности Очевидно, что в выражении (2.44) можно изменить нумерацию отсчётов спектра:

(2.46)

Именно в такой форме в дальнейшем будет представляться ДПФ последовательности N временных отсчётов.

Существует обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), которое позволяет найти последовательность N отсчётов сигнала, по которой определялось ДПФ S[n].

ОДПФ задаётся выражением:

(2.47)

которое отличается от (2.46) только масштабным множителем 1/N и знаком экспоненты, подобно тому, как это было в случае преобразований Фурье аналогового сигнала.

В литературе встречается запись, содержащая множитель 1/N ДПФ (а не в ОДПФ), а также запись с множителями Т в ДПФ и 1/NT в ОДПФ. В последнем случае учитывается зависимость временных и спектральных коэффициентов интервала дискретизации Т.

Итак, дискретизованному сигналу соответствует сплошной спектр с периодической структурой (рис.2.3,б). Дискретизованному же спектру соответствует периодическая последовательность сигналов повторяемых с периодом N (рис.2.3,в). Однако в расчёт следует принимать только N отсчётов этого сигнала: Заметим, что если дискретизации подвергнуть периодический сигнал с периодом NT, где T – шаг дискретизации, то ему будет соответствовать дискретный спектр с периодом N.