Частотно-временной анализ

Классическое преобразование Фурье (непрерывное и дискретное) является весьма полезным математическим аппаратом для анализа и синтеза стационарных сигналов, однако иногда оказывается недостаточно эффективным при обработке сложных сигналов. Преобразование Фурье, например, не отличает сигналы из двух синусоид с разными частотами, один из которых представляет собой сумму синусоид, второй – последовательно следующие друг за другом синусоиды. В обоих случаях их спектр будет выглядеть как два пика на двух фиксированных частотах.

Пример:

x(t) = U1· cos(2 π f1 t) + U2 · cos(2 π f2t)

y(t)= U1· cos(2 π f1 t) при t≤ t0

U2 · cos(2 π f2 t) при t ≥t0

Их амплитудные спектры практически идентичны. Могут отличаться лишь по количеству осцилляций.

Следовательно, преобразование Фурье в своем традиционном виде не приспособлено для анализа нестационарных сигналов, в том числе локализованных на некотором временном интервале, так как теряется информация о временных характеристиках сигнала. Поэтому базис в виде sin и cos не всегда достаточен.

Следовательно, спектральный анализ реальных сигналов необходимо осуществлять как по частоте, так и во времени. Преимущества такого анализа очевидны. На практике чаще всего приходится иметь дело с нестационарными процессами, в которых информативным является сам факт изменения частотно-временных характеристик сигнала. Примерами таких сигналов являются спутниковые изображения Земли, рентгенограммы внутренних органов, речь и музыка, турбулентные поля различной природы и т.д., то есть фактически – весь объем информации, с которым приходится иметь дело в повседневной жизни. Для выполнения такого анализа требуются базисные функции, обладающие способностью выявлять в анализируемом сигнале как частотные, так и его временные характеристики. Другими словами, сами базисные функции должны обладать определенными свойствами, названными частотно-временной локализацией.