2014-01-31
1090
Во многих измерительных системах связи используется дискретное представление сигнала, т.е. непрерывный сигнал представляется своими дискретными значениями через промежуток времени 
. Естественно ожидать, что такое представление может привести к потере информации. Но при определённом соотношении между шириной спектра сигнала и временным интервалом можно сохранить всю информацию, содержащуюся в сигнале. Это соотношение устанавливается теоремой отсчётов или теоремой Котельникова.
Владимир Александрович Котельников – академик, советский учёный в области радиотехники и радиофизики. 1933г. - теорема Котельникова.
Теорема Котельникова – если непрерывная функция X(t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число промежутков) и её спектр ограничен некоторой частотой 
, то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 
где - максимальная частота спектра сигнала.
Условия Дирихле:
а) интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых 
непрерывна и монотонна – функция ограничена;
б) во всякой точке разрыва существуют значения 
и 
То есть при контроле прогресса, описываемого функцией 
с ограниченным спектром, достаточно измерять мгновенные значения через промежутки времени 
.
Выбор частоты отсчётов по теореме Котельникова.
1) Пусть сигнал, описываемый непрерывной функцией времени X(t), имеет ограниченный спектр, т.е. преобразование Фурье.
Спектральная функция 
(прямое преобразование функции) удовлетворяет условию 
при 
. X(t) удовлетворяет условию Дирихле 
при 
2) При представлении сигнала 
интегралом Фурье, пределы интегрирования можно ограничить значениями от 
до 
.
(обратное преобразование функции). Так как удовлетворяет условиям Дирихле, то и 
удовлетворяет условиям Дирихле. Считаем, что - функция частоты, её дополним до периодической, период которой равен 
. Разложим эту функцию в ряд Фурье на интервале 
.
аналогично 
.
коэффициенты разложения
или 
Сравниваем выражения для и 
, видим, что они совпадают, если 
а это справедливо; а также 
Отсюда 
Подставляем выражение для в 
(ряд Фурье), получим спектральную функцию в виде:
Подставив в X(t), т.е. перейдём к временной записи. Знак k изменим на противоположный с учётом того, что суммирование производится по всем отрицательным и положительным значениям k. Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим порядок операций интегрирования и 
.
вычислим интеграл с учётом формулы Эйлера:
Тогда в окончательном виде X(t)
- ряд Котельникова.
Это аналитическое выражение теоремы Котельникова, показывает, что непрерывная функция X(t) с ограниченным спектром может быть точно представлена отсчётами функции 
, взятыми через равные интервалы 
Лекция № 13
Непрерывная функция X(t) представляется суммой произведений, один из сомножителей – это коэффициент определяет значение функции в момент отсчёта, а другой – функция отсчётов.
.
Функция имеет следующие свойства:
1) в момент времени 
, функция 
достигает наибольшего значения, т.е. равно 1.
2) в момент времени, кратные 
т.е. 
где i – любое целое число, обращается в нуль.
Теорема Котельникова относится к сигналам с ограниченным спектром.
Функция отсчётов – это реакция идеального фильтра нижних частот с граничной частотой на 
- функцию. Если через такой фильтр пропустить квантованный сигнал с 
то сумма выходных сигналов фильтра даёт исходный непрерывный сигнал.
Поэтому с целью использования теоремы Котельникова для квантования сигналов, реальный спектр сигнала, простирается от 0 до 
, условно ограничивают некоторый диапазон частот от 0 до , в котором сосредоточена основная (подавляющая) часть энергии спектра.
Практическое применение т. Котельникова встречает трудности:
1) реальные сигналы ограничены во времени и имеют бесконечный спектр, а это противоречит т. Котельникова.
2) для точного восстановления исходной функции необходимо получить и суммарные реакции фильтра на входные импульсы на всей оси времени от 
до 
, или большого количества импульсов до и после аппр... участка функции. Это трудно практически реализовать. Функции отсчётов, генерируемые ФНЧ, должны иметь бесконечную протяжённость во времени, как для положительного t, так и для отрицательного t. Такие фильтры физически нереальны.
Если сигнал ограничен интервалом времени Т, то общее число отсчетов равно 
, 
-частотная граница спектра сигнала. При 2Т >> 1, 
. Такой сигнал представляют конечной суммой или усеченным рядом Котельникова:
Число В 
базой или числом степеней свободы сигнала. Относительная среде-кврадратичная погрешность, связанная с представлением сигнала Х(t) конечным числом отсчетов равна:
,
где P – полная мощность (энегрия) сигнала, 
- энергия сосредоточенная вне полосы частот [-
, характеризует погрешность, возникающую за счет ограничения спектра. Эта погрешность может быть определена как отношение:
.
При заданной относительной погрешности квантования и известном энергетическом спектре процесса можно определить граничную частоту, а затем интервал квантования 
.
