Решение задачи 1

Задача 1. Построение таблицы смертности в закрытом населении.

Задачи к теме 8. Эволюция продолжительности жизни. Смертность населения

Данные о престарелых, получаемые на основе переписей населения, часто содержат ошибки (пропуски, неточно указанный возраст). Иногда приходится использовать данные текущего учета смертей, чтобы восстановить численность некоторых поколений.

На основе данных о числе умерших, приведенных в таблице:

1) восстановите численность женских поколений 1866 – 1870 гг., начиная с очного возраста 85 лет;

2) постройте таблицу смертности для этого поколения, рассчитав сначала вероятности умереть, затем числа умерших и числа доживающих до точного возраста (считая, что в точно возрасте 85 лет было 100000 доживающих);

3) покажите, как построить таблицу смертности, не прибегая к вероятностям;

4) рассчитайте ожидаемую продолжительность жизни в возрасте 85 лет, предположив, что средний возраст смерти в интервале от х до х +1 равен х + 0,5. К какой ошибке приводит использование здесь этой формулы? Почему? Переделайте расчеты,, используя следующие средние возраста смерти: для интервалов от 85 до 95 лет – (х + 0,48), для возрастов 95 лет и старше – (х + 0, 45);

5) если бы населений было открытым, к какой ошибке относительно вероятностей привело бы использование подобной методики?

1. Чтобы восстановить численность женских поколений 1866 – 1870 гг., начиная с точного возраста 85 лет, на основе смертей, приведенных в таблице, нужно рассчитать число накопленных смертей, начиная от самого старшего возраста. Численность поколения в возрасте 85 лет равна сумме всех умерших от возраста 85 до возраста 108 лет.

Возраст, исполнившихся лет	Число смертей	Возраст, исполнившихся лет	Число смертей

Возраст	Число смертей	Численность поколения	qx	lx	dx	x + 0,5n	dx * (x + 0,5n)	x + 0,48n x + 0,45n	dx * (x + 0,48n) dx * (x + 0,45n)
			0,1724			85,5		85,48
			0,1846			86,5		86,48
			0,1948			87,5		87,48
			0,2036			88,5		88,48
			0,2228			89,5		89,48
			0,2284			90,5		90,48
			0,2513			91,5		91,48
			0,2694			92,5		92,48
			0,2938			93,5		93,48
			0,306			94,5		94,48
			0,3321			95,5		95,45
			0,3319			96,5		96,45
			0,3546			97,5		97,45
			0,3675			98,5		98,45
			0,4039			99,5		99,45
			0,3864			100,5		100,45
			0,4539			101,5		101,45
			0,4875			102,5		102,45
			0,4329			103,5		103,45
			0,6667			104,5		104,45
			0,6129			105,5		105,45
			0,5			106,5		106,45
			0,6667			107,5		107,45

3. Чтобы получить ряд чисел доживающих без использования вероятностей, достаточно умножить численность поколения в каждом возрасте на 100000/126425.

4. Ожидаемую продолжительность предстоящей жизни в возрасте 85 лет рассчитываем как среднюю взвешенную: Е₈₅ = 4,21 при наступлении смертей в середине возрастных интервалов; 4,18 – ближе к началу каждого интервала.

точный возраст	Число доживающих до точного возраста	dx	qx (‰)
			58,8
			37,00%
			13,3

5. Расчет вероятности умереть:

· Для доживших до точного возраста 1 год вероятность умереть до достижения точного возраста 3 года: (500 + 300)/8500 = 0,094;

· Для доживших до точного возраста 2 года вероятность умереть до достижения точного возраста 5 лет: (300 + 200 +100)/ 8000 = 0,075;

· Для доживших до точного возраста 1 год вероятность дожить по крайней мере до точного возраста 2 года: 8000/8500 = 0,941;

· Для доживших до точного возраста 2 года вероятность дожить по крайней мере до точного возраста 5 лет: 7400/8000 = 0,925;

· Вероятность дожития от рождения до точного возраста 2 года и 5 лет: 8000/10000 = 0,800 и 7400/10000 = 0,740.

Задача 2. Мы располагаем данными о численности мужского поколения в точных возрастах. Миграция отсутствует.

Точный возраст	Численность поколения	Точный возраст	Численность поколения

1. Рассчитайте краткую чистую таблицу смертности этого поколения, приняв за корень таблицы 100000.

2. Кратко прокомментируйте эволюцию вероятности умереть с возрастом.

3. Дайте определение и рассчитайте показатели интенсивности и календаря смертности в этом поколении.

4. Рассчитайте вероятности дожить до точного возраста 25, 28 и 30 лет.