Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак

Ряд называется знакоположительным, если все его члены Заметим, что если неравенства выполняются, начиная с некоторого номера то заменив первые его членов на произвольные положительные числа, сделаем указанный ряд знакоположительным, причем полученный ряд и исходный ряд будут сходиться или расходится одновременно.

12. Частичные суммы знакоположительного ряда образуют неубывающую последовательность.

Действительно, так как (учесть, что), то последовательность не убывает. Из свойства 7 вытекает следующее утверждение.

Общий признак сходимости знакоположительных рядов. Если последовательность частичных сумм знакоположительного рядаограниченасверху, то это ряд сходится.

Замечание 2. Так как последовательность частичных сумм знакоположительного ряда не убывает, то при расходимости соответствующего ей ряда предел (почему?). В этом случае считают, что сумма ряда

Теорема сравнения I. Пусть для рядов

выполнены неравенства

Тогда из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) вытекает расходимость ряда (3).

Доказательство. Пусть сходится ряд (3). Тогда последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. существует постоянная такая, что

Учитывая неравенства (4), будем иметь т.е. последовательность ряда (2) ограничена сверху. Отсюда (по общему признаку сходимости) следует, что ряд (2) сходится. Если теперь ряд (2) расходится, то (так как последовательность неубывающая). Переходя в неравенстве к пределу при получаем, что и т.е. ряд (3) также расходится. Теорема доказана.

Теорема сравнения II. Пусть для знакоположительных рядов

выполнены условия:

1) 2) существует предел

Тогда ряды (2) и (3) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Замечание 3. Обычно эта теорема применяется в случае, когда последовательности и эквивалентны В этом случае При этом в качестве ряда (3) берут обобщенный гармонический ряд а для описания поведения общего члена ряда (2) пользуются таблицей 1 эквивалентных бесконечных малых. Ниже будет показано, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится при

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Имеем Постоянная не влияет на сходимость ряда (см. утверждение 11), поэтому ее можно не учитывать. Ряд сходится, так как а значит, и исходный ряд также сходится.

Сформулируем ещё три признака, которые используются при исследовании сходимости рядов.

Признак Даламбера. Пусть знакоположительный ряд таков, что и пусть существует (конечный или бесконечный) предел Тогда при указанный ряд сходится, а при он расходится. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; нужны дополнительные исследования.

Признак Коши (предельный). Пусть знакоположительный ряд таков, что существует (конечный или бесконечный) предел Тогда при указанный ряд сходится, а при он расходится. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости Коши. Пусть для ряда выполнены следующие условия:

1) функция неотрицательна и непрерывна при

2) функция не возрастает на промежутке

Тогда ряд и интеграл одновременно сходятся или одновременно расходятся. При этом имеет место следующая оценка остатка

Воспользуемся этим признаком для исследования сходимости обобщенного гармонического ряда Составим функцию (заменив в натуральное число на). Функция удовлетворяет условиям 1) и 2) интегрального признака Коши, поэтому ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Из предыдущих лекций известно, то эталонный интеграл сходится при и расходится при Значит, и обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится при

[1] Здесь и всюду ниже натуральное число (номер).