Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями

Нормальное уравнение прямой

Дано: R = , : , , l ' Р, l ^ . Найти уравнение l. М Î l Û пр = р. Отсюда М Î l Û . Так как , , то

Рис. 22

М Î l Û . Отсюда М Î l Û (30)

Уравнение (30) называется нормальное уравнение прямой.

Дано: R = , l₁: A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, l₂: A₂ x + B₂ y + C₂ = 0.

Найти один из углов .

Замечание. Очевидно, достаточно найти только один из углов между прямыми.

Решение: 1-ый способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор параллелен прямой l1 и вектор параллелен прямой l2. Следовательно, один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак, . (31)

Рис 23

(Вывод формулы (31) можно проводить в любой аффинной системе координат). Воспользовавшись тем, что данная система координат прямоугольная, перепишем формулу (31) в координатах. Получим . Окончательно получим

(32)

2-ой способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор перпендикулярен прямой l1 и вектор перпендикулярен прямой l2. Из свойства углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак, (33)

Рис. 24

Переписав полученную формулу в координатах, получим

. (32)

Замечание. Формулу (32) можно использовать только в том случае, когда прямые заданы общими уравнениями в прямоугольной системе координат.

Следствие. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда А₁А₂ + В₁В₂ = 0 (33).

Задача. Дано. R = , , , , l₁: 3 х - 4 у + 11 = 0,

l₂: 5 х + у + 8 = 0.

Найти .

Решение. Используем формулу (31). В нашем случае =, . Следовательно, ; , . Подставив в формулу (31), получим .