Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами

Дано: R = , l₁: у = к₁ × х + в₁, l₂: у = к₂ × х + в₂.

Найти ориентированный угол, на который нужно повернуть l₁, чтобы она стала параллельной l₂.

Решение. Из уравнений l1 и l2 следует, что , , где j1 и j2 – углы наклона прямых l1 и l2 к оси (О х). Обозначим q ориентированный угол между l1 и l2 . По свойству внешнего угла треугольника получим q = j2 - j1. Отсюда . Итак, (34)

Рис. 25

Следствие. Две наклонные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(35)

Задача. Дано: R = , l₁: 3 х + 4 у +12 = 0, l₂: 4 х - 7 у - 1 = 0.

Найти тангенс угла между прямыми l₁ и l₂.

Решение. Используем формулу (34). Для этого нужно найти угловые коэффициенты данных прямых. Разрешая уравнения прямых относительно у, получим, что , . Следовательно,

Задача. Дано: R = , l₁: 3 х + 4 у +12 = 0, l₂: 4 х + 3 у - 24 = 0.

Найти уравнения биссектрис углов, образованных l₁ и l₂.

Решение. Если l₃ и l₄ – биссектрисы данных углов, то каждая из них проходит через точку А = l₁ Ç l₂. Координаты точки А найдём, решая систему уравнений Получим А().

По определению биссектрисы = и = . Обозначим через к угловые коэффициенты l₃ и l₄. Используя формулу (34), получим

.

Так как и , то , или . Отсюда . Следовательно, , . Используя уравнение (27), получим

l₃: (у + ) = 1×(х - ). После упрощения l₃: х - у - 36 =0.

Аналогично, l₄: (у + ) = -1×(х - ). После упрощения l₄: 7 х + 7 у - 12 =0.