Общие уравнения прямой

Из уравнений (16) и (18) видно, что любую прямую на плоскости можно задать уравнением первой степени с двумя переменными. Возникает обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени с двумя переменными задаёт в аффинной системе координат на плоскости некоторую прямую? Аналогично, уравнения (16¹) и (18¹) эквивалентны системе двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными. Поэтому возникает обратная задача: Любая ли система двух независимых уравнений первой степени с тремя переменными задаёт в аффинной системе координат в пространстве прямую?

I. Общее уравнение прямой на плоскости

Дано: R = и уравнение А х + В у + С = 0, где из коэффициентов А и В хотя бы один отличен от нуля.

Показать, что данное уравнение определяет прямую.

Доказательство. Пусть В ¹ 0. При х₀ = 0 из данного уравнения получаем у₀ = . Вектор не нулевой, поэтому существует и только одна прямая l такая, что l ' М₀, где М₀(х₀, у₀) и l ½½. Запишем уравнение l, используя (16). Получим . После преобразования А х + В у + С = 0. Получили данное уравнение. Следовательно, оно задаёт прямую.

Уравнение А х + В у + С = 0 называется общее уравнение прямой на плоскости. При этом из доказательства следует, что вектор параллелен этой прямой.

II. Общие уравнения прямой в пространстве

Дано: R = и система (19), где коэффициенты А₁, В₁, С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂, В₂, С₂.

Показать, что данная система определяет прямую.

Доказательство. Пусть (х₀, у₀, z₀) – одно из решений данной системы, т.е. Вычтем из данной системы почленно полученные тождества. Получим систему (*), эквивалентную данной. Это система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными. Так как её коэффициенты не пропорциональны, то эта система имеет бесконечно много решений, причём все решения пропорциональны. Следовательно, достаточно найти одно ненулевое решение. Таким решением будет тройка . Проверим это подстановкой. Подставим в первое уравнение: Подставим во второе уравнение: Итак, тройка удовлетворяет обоим уравнениям системы (*). Эта тройка не нулевая. Следовательно, все решения системы (*) можно записать в виде

или (20)

Итак, система эквивалентна системе (20). Но система (20) это параметрические уравнения прямой. Следовательно, уравнения (19) задают прямую в аффинной системе координат в пространстве.

Уравнения (19) называются общие уравнения прямой в пространстве. Если прямая задана уравнениями (19), то вектор = параллелен данной прямой.

Замечание. Если прямая в пространстве задана общими уравнениями, то для приведения их к параметрическому (или каноническому виду) достаточно найти одно решение (х₀, у₀, z₀) этих уравнений, найти вектор и использовать уравнение (20) или .