Расстояние от точки до прямой

Дано: R = , l: A x + B y + C = 0, М0(х0, у0). Найти d (M0, l). Решение. Опустим из точки М0 на данную прямую перпендикуляр. Пусть N – его основание и N(х1,у1). Тогда A x1 + B y1 + C = 0 (*). Искомое расстояние d (M0, l) = .Если , то . Следовательно, векторы и коллинеарны. Так как , то (**). Отсюда следует

Рис. 26

d (M₀, l) = = . (***)

Для решения задачи достаточно найти . Для этого обе части равенства (**) умножим скалярно на вектор , получим . Полученное равенство перепишем в координатах: А (х₀ - х₁) + В (у₀ - у₁) = d× (А² + В²). Отсюда Ах₀ + Ву₀ - (Ах₁ + Ву₁) = d× (А² + В²). Из (*) Ах₁ + Ву₁ = С. Следовательно, Ах₀ + Ву₀ + С = d× (А² + В²) и . Подставив в (***), получим d (M₀, l) = (35)

Задача.Дано: R = , l1: 3 х + 4 у +12 = 0, l2: 4 х + 3 у - 24 = 0. Найти уравнения биссектрис углов, образованных l1 и l2. Решение. Пусть р1 и р2 – искомые биссектрисы. Тогда М Î р1 или р2 Û d1 = d2, где d1 = d (M, l1), d2 = d (M, l2). Используя формулу (35), получим М Î р1 или р2 Û .

Рис.27

После упрощения получим два уравнения:

р₁ : х - у - 36 = 0; р₂: 7 х + 7 у - 12 = 0.

(Сравните с решением и результатом предыдущей задачи).