Пучок прямых на плоскости

Определение 24. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых этой плоскости, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром пучка.

Пучок можно задать двумя способами: центром и парой пересекающихся прямых. I.Пучок задан центром. Дано.R = , С(х0, у0) – центр пучка (рис. 28). Найти условие, определяющее пучок. Решение. Прямая l принадлежит пучку с центром С тогда и

Рис. 28

только тогда, когда l ' С. При этом направляющим вектором может быть любой ненулевой вектор . Следовательно, l принадлежит пучку Û l: , где m, n – любые действительные числа, не равные одновременно нулю. Итак, пучок с центром С задаётся уравнением (36).

В уравнении (36) две пары переменных. Меняя m, n, мы будем получать все возможные прямые пучка. Если m, n зафиксированы, то зафиксирована прямая пучка. При этом, меняя х, у, мы будем получать все возможные точки на полученной прямой.

II. Пучок задан парой пересекающихся прямых. Дано.R = , l1: A1 x + B1 y + C1 = 0, l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 (рис. 29). Найти уравнение пучка. Решение. Пусть l1 Ç l2 = С и С(х0, у0). Точка С будет центром пучка. Используя уравнение (36) получим, что прямая l принадлежит пучку Û l: . Здесь

Рис. 29

вектор - любой ненулевой вектор. Из уравнений прямых l₁ и l₂ векторы и параллельны прямым l₁ и l₂ соответственно, поэтому они не коллинеарны. Следовательно, любой вектор , где a, b - любые действительные числа, не равные нулю одновременно. Отсюда . Уравнение (36) перепишется . После преобразования получим:

(*).

Так как С = l₁ Ç l₂, то A₁ x₀ + B₁ y₀ + C₁ = 0 и A₂ x₀ + B₂ y₀ + C₂ = 0. Отсюда -(A₁ x₀ + B₁ y₀) = С₁, -(A₂ x₀ + B₂ y₀) = 0. Подставив в (*), получим уравнение данного пучка

(37)

В уравнении (37) тоже две пары переменных (a, b) и (х, у).

Задача. Дано: R = , l₁: 3 х + 4 у +12 = 0, l₂: 4 х + 3 у - 24 = 0, l₃: х + 2 у + 3 = 0.

Найти уравнение прямой l, Если l ' (l₁ Ç l₂) и l ^ l₃.

Решение. Так как l ' (l₁ Ç l₂), то l принадлежит пучку прямых, определяемому прямыми l₁ и l₂. Следовательно, уравнение l можно искать в виде

a(3 х + 4 у +12) + b(4 х + 3 у - 24) = 0 (*)

Преобразовав это уравнение, получим (3a + 4b) х + (4a +3b) у + (12a - 24b) = 0 (**).

Используем условие перпендикулярности прямых (33). Получим 1×(3a + 4b) + 2×(4a +3b) = 0, или 11a + 10b = 0. Так как все решения этого уравнения пропорциональны, а уравнение (*) при пропорциональных парах (a, b) задаёт одну и ту же прямую, то достаточно найти одну ненулевую пару (a, b). При a = 10 b = -11. Подставив в (**), получим уравнение

l: 14 х - 4 у - 384 = 0.

2.5. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С ³ 0 (£ 0, >0, < 0)

Дано. R = , Ах + Ву + С ³ 0 (А и В н равны нулю одновременно) (38).

Исследовать, какую фигуру задаёт неравенство (38). Решение. Пусть l: Ах + Ву + С = 0. Если бы вектор был параллелен прямой l, то векторы и были бы коллинеарны. Но тогда . Отсюда А2 + В2 = 0, т.е.

Рис. 30

А = В = 0, что противоречит условию. Итак, вектор не параллелен прямой (рис.30).

Рассмотрим множество всех точек плоскости, не лежащих на прямой l. Пусть М – любая из них. Пусть параллелен , где N Î l. Тогда = . При этом l > 0 Û точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей l, а именно в той в сторону которой направлен вектор . Перепишем последнее равенство в координатах. Если М (х, у), N (х₀ , у₀), то х - х₀ = lА, у - у₀ = lВ. Отсюда х₀ = х - lА, у₀ = у - lВ. Так как N Î l, то Ах₀ + Ву₀ + С = 0. Следовательно, А (х - lА) + В (у - lВ) + С = 0. Отсюда Ах + Ву + С = l (А² + В²). Так как А² + В² > 0, то знак трёхчлена Ах + Ву + С совпадает со знаком l. Итак, Ах + Ву + С > 0 Û точка М (х, у) лежит в открытой полуплоскости с границей l, а именно в той в сторону которой направлен вектор . Неравенство Ах + Ву + С ³ 0 задаёт эту полуплоскость вместе с границей.