I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат

Дано: , М 0(х0, у0, z0), , , П ' М0, П ^ . Найти уравнение П. Решение. М Î П Û либо , либо Û . Так как , то М Î П Û (47) Это векторное уравнение данной плоскости.

Рис. 33

Переходя к координатам, получим А (х - х₀) + В (у - у₀) + С(z - z₀) = 0/ (48)

Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.

II.Угол между двумя плоскостями

Дано: , П1: А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2: А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Найти один из углов между П1 и П2. Решение. Из уравнений П1 и П2 следует, что и перпендикулярны плоскостям П1 и П2 соответственно. Если О – точка на линии пересечения П1 и П2, t1 и t2 лежат в плоскостях

Рис. 34

П₁ и П₂, проходят через точку О и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (рис. 34), то = (П₁,П₂). Но по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами либо равен углу , либо дополняет его до 180⁰. И в том, и в другом случае равен одному из углов между П₁ и П₂. Следовательно,

Cos((П₁,П₂) = (49)

Из формулы (49) следует, что П₁ ^ П₂ Û = 0.

III.Угол между прямой и плоскостью

Дано: , П: Ах + Ву + Сz + D = 0, t: . Найти один из углов между П и t. Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость

Рис. 35

(рис. 35). Из уравнений прямой и плоскости вектор перпендикулярен плоскости П, а вектор параллелен прямой t. Следовательно, ). Отсюда следует, что

sin(П, = (50)

Из свойств векторов и следует:

П // t Û ; П ^ t Û (51)

IV. Расстояние от точки до плоскости