2014-01-25
818
Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
Дано:  , М 0(х0, у0, z0),  ,  ,
П ' М0, П ^  .
Найти уравнение П.
Решение. М Î П Û либо  , либо  Û  . Так как  , то
М Î П Û  (47)
Это векторное уравнение данной плоскости.
| 
Рис. 33
|
Переходя к координатам, получим А (х - х0) + В (у - у0) + С(z - z0) = 0/ (48)
Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.
II.Угол между двумя плоскостями
Дано: , П1: А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2: А2х + В2у + С2z + D2 = 0.
Найти один из углов между П1 и П2.
Решение. Из уравнений П1 и П2 следует, что  и  перпендикулярны плоскостям П1 и П2 соответственно. Если О – точка на линии пересечения П1 и П2, t1 и t2 лежат в плоскостях
| 
Рис. 34
|
П1 и П2, проходят через точку О и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (рис. 34), то 
= (П1,
П2). Но по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами либо равен углу 
, либо дополняет его до 1800. И в том, и в другом случае равен одному из углов между П1 и П2. Следовательно,
Cos((П1,П2) = 
(49)
Из формулы (49) следует, что П1 ^ П2 Û 
= 0.
III.Угол между прямой и плоскостью
Дано: , П: Ах + Ву + Сz + D = 0,
t:  .
Найти один из углов между П и t.
Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость
| 
Рис. 35
|
(рис. 35). Из уравнений прямой и плоскости вектор перпендикулярен плоскости П, а вектор 
параллелен прямой t. Следовательно, 
). Отсюда следует, что
sin(П,
= 
(50)
Из свойств векторов и 
следует:
П // t Û 
; П ^ t Û 
(51)
IV. Расстояние от точки до плоскости
