IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей

Дано: R = , П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂.

Решение. Задача сводится к исследованию системы (46)

Возможны случаи.

1. А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.

3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Плоскости П₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 параллельны тогда т только тогда, когда .

Задача. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Задача. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой, если

а) плоскость задана общим уравнением, прямая – параметрическими уравнениями;

б) плоскость и прямая заданы общими уравнениями.