2014-01-25
1179
Плоскость в аффинной системе координат
Прямая и плоскость в пространстве
Уравнения прямой в пространстве были выведены в пункте 2.2. Это уравнения 141 - 181 и 19. там же было показано, как приводить общие уравнения прямой к каноническому виду в аффинной системе координат, и исследовано взаимное расположение двух прямых.
Дано:R =  , М 0(х0, у0, z0),  ,  ,  и  неколлинеарны; П ' М0, П // , П // .
Найти условия, определяющие П (рис. 31).
Решение. М Î П Û  , и компланарны. Так как и неколлинеарны, то М Î П Û либо
| 
Рис. 31
|
(u,v - любые действительные числа), либо определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Перепишем эти условия в координатах. Получим М Î П Û 
или М Î П Û 
(39)
Получили два вида уравнений плоскости: уравнение (39) и 
(40).
Уравнения (40) называются параметрическими уравнениями плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.
Так как 
, где 
и 
- радиусы-векторы точек М и М0 соответственно. Тогда уравнение можно переписать 
(41). Это векторное уравнение плоскости.
|
|
|
II.Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
Дано: R = , М1 (х1, у1,z1), М2 (х2, у2, z2), М3 (x3, у3, z3), точки M1, M2, M3 не коллинеарные. П É í M1, M2, M3 ý.
Найти уравнения П (рис. 32).
Решение. Так как M1, M2, M3 не коллинеарные, то векторы
 и  неколлинеарны. Используя уравнение (41), получим векторное уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
 . (42)
Используя (40) и (39), получим параметрические уравнения плоскости П и её уравнение в форме определителя.
| 
Рис. 32
|
(43); 
(44)
