Окружность

ОБРАЗЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве

Полярная система координат на плоскости

Различные системы координат на плоскости и в пространстве

VI. Расстояние между скрещивающимися прямыми

V. Расстояние от точки до прямой

2.7.3. Геометрический смысл неравенства Ах + Ву + Сz + D ³ 0 (£ 0, > 0, < 0)

4.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение 1. Окружностью с центром С и радиусом а называется множество точек плоскости, удалённых от точки С на расстояние а. Обозначение w = окр(С, а).

Если на плоскости зафиксирована ПДСК и С(х₀,у₀), то М Î w Û êСМê = а. Если М(х, у), то М Î w Û Û (х – х₀)² + (у – у₀)² = а ². Следовательно, уравнение окружности в ПДСК есть (х – х₀)² + (у – у₀)² = а ².

Если А(х₁, у₁) Î w, то уравнение касательной к w в точке А можно получить как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ={х₁–х₀,у₁–у₀}. Получим уравнение (х₁ – х₀)×(х – х₀) + (у₁ – у₀)×(у – у₀) = а ².

4.1.2. ЭЛЛИПС

Определение 2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 1).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2. Если êF1F2 ê= 2с, то при < с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы > с.

Рис. 1

Поставим задачи:

· Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение эллипса.

· Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства эллипса.

Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F₁F₂. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F₁ к F₂ (рис. 2). Выбранная система координат называется

канонической системой координат для эллипса. В этой системе координат F1(-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = êF1Мê = , r2 = êF2Мê= . М Î эллипсу Û r1 + r2 = 2 а. Следовательно, М Î эллипсу Û + = 2 а (1) Уравнение (1) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого

Рис. 2

уединим один из корней и возведём в квадрат.

= 2 а - ,

х² – 2сх + с² + у² = 4 а ² – 4 а + х² + 2сх + с² + у²

а = а ² + сх.

Ещё раз возведя в квадрат, получим

а ²х² + 2 а ²сх + а ²с² + а ²у² = а ⁴ + 2 а ²сх + с²х²,

(а ² – с²)х² + а ²у² = а ²(а ² – с²).

Так как > с, то можно обозначить а ² – с² = в². Последнее уравнение запишется

в ²х² + а ²у² = а ² в². Разделив на = а ² в², получим

(2)

Итак, уравнение (1) преобразовано в уравнение (2). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (1) и (2) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (1).

Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (2). Тогда = . Подставив у² в выражение для r₁, получим r₁ = = = = = = = (Из уравнения (2) следует, что - а £ х £ а. Так как > с, то > 0). Аналогично получим, что r₂ = . Следовательно, r₁ + r₂ = 2 , но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (1) и (2) эквивалентны. Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Будем исследовать эллипс, используя уравнение (2). Из него следует:

· , т.е. ; · эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(-,0) и А2(, 0); · , т.е. ; · эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, -) и

Рис. 3

В₂(0, );

· эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А₁, А₂, В₁, В₂ (рис. 3);

· эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат; · в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 4). · длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2 а и 2 соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы эллипса лежат на его большой оси между вершинами.

Рис.4

Величина e = называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0 < e < 1.

Определение 3. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называются директрисами эллипса.

Так как e < 1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 5).

Фокус F₁(-с, 0) и директриса , а так же фокус F₂(с, 0) и директриса называются соответствующими.

Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство. êF1М ê= = а + eх, êМК1ê= = = . Следовательно, êF1М ê: êМК1ê = e (рис. 5). Аналогично, êF2М ê: êМК2ê = e. (Здесь МК1 и МК2 - перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)

Рис. 5

Определение 4. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.

Теорема 2. В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (2) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

(3).

Доказательство. Если М₀(х₀, у₀) – любая точка эллипса, то = 1 (*). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М₀. Тогда уравнения р будут х = х₀ + mt, у = у₀ + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе , х = х₀ + mt, у = у₀ + nt.

Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда

. Используя (*), получим . Так как t = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению . Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим . Преобразуя это уравнение и используя (*), получим уравнение .

Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при e ® 0 эллипс стремится к окружности, если e ® 1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А₁А₂).

Доказательство. Так как и , то при постоянном а с уменьшением e уменьшается с, а увеличивается. Если e ® 0, то ® а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если e ® 1, то с ® а, ® 0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А₁А₂.

Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2, то будет > с, а ² = ² – с² и уравнение эллипса будет такого же вида , но > а.

Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х₀, у₀), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .