Лекция 3. В этом параграфе, как и выше, под понимается линейный дифференциальный оператор вида

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В этом параграфе, как и выше, под понимается линейный дифференциальный оператор вида

, (1)

где все коэффициенты , определены и непрерывны на некотором интервале , и рассматривается так называемое неоднородное уравнение , где также определена и непрерывна на , или

. (2)

Уравнение вида или

(3)

называется однородным линейным уравнением, соответствующим уравнению (2). Общее решение (2) находится в соответствии с теоремой 3 предыдущей лекции.

Теорема 1 (структура общего решения линейного неоднородного уравнения). Пусть общее решение однородного уравнения (3) (здесь фундаментальная система решений этого уравнения, а произвольные постоянные), а частное решение неоднородного уравнения (2) (т.е. одно из решений этого уравнения). Тогда функция

(4)

является общим решением уравнения (2). Т.е. общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения.

▲ Нужно проверить, что функция (4) удовлетворяет определению общего решения дифференциального уравнения.

Как и , эта функция зависит от и произвольных постоянных . При любых значениях этих постоянных функция (4) является решением уравнения (2): .

Теперь в точке зададим произвольные начальные условия

, , …, и покажем, что постоянные можно подобрать так, чтобы функция (4) удовлетворяла этим начальным условиям. Имеем: . (5)

Система (5) является системой линейных уравнений с неизвестным и правыми частями , , …, . Определитель этой системы – это определитель Вронского , который отличен от 0 в силу линейной независимости функций . Значит, система (5) имеет единственное решение. ■

Приведем здесь еще одну теорему, которая в некоторых случаях облегчает нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Теорема 2. Пусть частное решение уравнения , а частное решение уравнения . Тогда частное решение уравнения .

▲ . ■

В соответствии с теоремой 1, для нахождения общего решения уравнения (2) нужно знать фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (3) (ее мы умеем находить для уравнений с постоянными коэффициентами) и частное решение данного неоднородного уравнения.

Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

и правой частью специального вида

В этом параграфе коэффициенты линейного оператора –постоянные действительные числа:

, .

Тогда неоднородное и соответствующее однородное уравнения из предыдущего параграфа будут иметь вид:

(6)

и

,. (7)

Эти уравнения можно разделить на , поэтому сюда применима теорема 1, и общее решение (6) будет иметь вид (4):

Частное решение неоднородного уравнения (6) будет искаться при следующих двух правых частях (которые называются правыми частями специального вида):

1. , где многочлен степени .

Пусть число является корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (7) кратности (если не является корнем этого уравнения, то мы будем считать, что ).

а) Сначала рассмотрим случай , т.е. .

В этом случае естественно искать частное решение неоднородного уравнения (6) в виде , где многочлен некоторой степени . Подставим такую функцию в уравнение (6), которое в данном случае (см. выше) имеет вид , .

Имеем:

. (8)

В этой формуле многочлен степени , многочлен степени , …, многочлен степени . Тогда () левая часть формулы (8) есть многочлен степени . Но правая часть этой формулы есть многочлен степени , значит, , .

В левую часть формулы (8) не войдут коэффициенты многочлена при (так как эти коэффициенты «пропадут» при нахождении производных порядка и выше), значит, эти коэффициенты можно взять любыми. Взяв их равными 0, имеем:

,

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами (т.е. коэффициентами, которые нам еще надо найти).

б) Теперь рассмотрим случай произвольного .

Такой случай сводится к случаю а) путем замены , где, новая неизвестная функция. Опуская довольно громоздкие выкладки, получим частное решение уравнения для , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Отсюда частное решение (6) можно искать в виде

. (9)

Подставляя функцию (9) в уравнение (6) и сокращая это уравнение на , получим тождественное равенство (на ) двух многочленов степени . Необходимым и достаточным условием такого равенства является совпадение коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях . Приравнивая эти коэффициенты, получим систему уравнений с неизвестными, которая, как можно доказать, всегда имеет единственное решение.

Таким образом, если , то частное решение неоднородного уравнения (6) ищется по формуле (9), в которой многочлен степени с неопределенными коэффициентами, а кратность как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз , взятое из правой части уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Корни этого уравнения , , и общее решение однородного уравнения . Теперь ищем частное решение исходного уравнения: , , , и . Находим производные этой функции и подставляем в исходное уравнение (для удобства записи опуская символ *): ;

; теперь

;

; .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства:

. Из этой системы ; ; . В итоге, .

2. , где и многочлены степени и соответственно с действительными коэффициентами (это обобщение случая 1, который получается отсюда при ).

Можно показать, что в этом случае частное решение неоднородного уравнения (6) следует искать по формуле

, (10)

где и многочлены степени с неопределенными (действительными) коэффициентами , а – кратность как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз , взятое из правой части уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

Подставляя решение вида (10) в уравнение (6), после сокращения на получаем тождественное равенство (на ) двух функций. Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях этого равенства (такие функции линейно независимы), получаем систему уравнений, из которой единственным образом находим коэффициенты многочленов и .

Пример. Решить диффененциальное уравнение .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид , или . Отсюда и . Общее решение исходного уравнения: . Находим частное решение исходного уравнения: , , ; , , ; это число не является корнем характеристического уравнения, поэтому и . Отсюда (символ * для удобства записи опускаем) , , . Подставляем в исходное уравнение: ; . Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой частях:Отсюда , и .

Этот пример показывает, что независимо от наличия в правой части линейного дифференциального уравнения обеих функций и или только одной из них, в решении вида (10) должны быть обе эти функции.

Замечание. Если правая часть уравнения (6) является суммой двух или большего числа функций специального вида, то для нахождения частного решения этого уравнения удобно использовать упомянутую выше теорему 2.

Метод вариации произвольных постоянных

Теперь вернемся к общему виду линейного неоднородного дифференциального уравнения. Пусть

(1)

и неоднородное и соответствующее однородное уравнения имеют вид

, (2)

, . (3)

Общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

где

(11)

– общее решение уравнения (3) (фундаментальная система решений этого уравнения), а частное решение уравнения (2).

Метод вариации произвольных постоянных заключается в нахождении по той же формуле (11), считая, что в ней коэффициенты являются функциями : , .

При подстановке такой функции в уравнение (2) получим одно уравнение с неизвестными: . Остальные уравнения мы допишем наиболее удобным для нас способом. Имеем:

Потребуем, чтобы (это 1-е уравнение)

Потребуем, чтобы (это 2-е уравнение)

………………………………………………………………………………….. (12)

Потребуем, чтобы (это-ое уравнение)

Последнее -ое уравнение получается после подстановки всех этих функций в формулу (2). Для этого надо умножить последнее из равенств (12) на 1, предпоследнее – на , …, второе – на , первое – на (все эти множители приведены в столбце слева), и все полученные новые равенства сложить. Собирая вместе члены с , получим:

. (13)

Так как решения (3), то , , …, , и уравнение (13) приобретает вид

. (14)

Теперь выпишем систему уравнений для :

. (15)

(15) – это система линейных уравнений с неизвестными . Ее легко запомнить: коэффициентами являются – в 1-м уравнении , во 2-м , в 3-м и т. д.; правые части, кроме последней (ой), равны 0, а последняя правая часть равна .

Определитель системы (15) есть определитель Вронского функций , который отличен от 0 во всех точках интервала , так как функции линейно независимы на этом интервале. Значит, система (15) имеет единственное решение , , …, .

Первообразные для этих функций и являются нужными нам коэффициентами в формуле (11).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид . Характеристическое уравнение имеет корни , , , и общее решение имеет вид . Теперь ищем частное решение исходного уравнения по той же формуле, считая, что в ней , . Система (15) выглядит так:

. Складывая 2-е и 3-е уравнения, имеем: ; .

Подставим во 2-е уравнение:; . Подставим и в 1-е уравнение: . Теперь находим сами коэффициенты (произвольные постоянные не пишем, так как находим лишь одно частное решение неоднородного уравнения):

;

;

.

Значит, и

.

Метод вариации произвольных постоянных в принципе применим для любых линейных неоднородных уравнений (даже с коэффициентами, зависящими от ). Однако для произвольных таких уравнений нет общего метода решения соответствующих однородных уравнений, поэтому этот метод применяется для решения уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью, не являющейся функцией специального вида. При правых же частях специального вида применяется более простой (в частности, не содержащий операции интегрирования) метод, изложенный выше.