В тригонометрической форме

Операции над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа:

1) Умножение. При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются, то есть:

2) Деление. При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются, то есть:

Пример 2.9. Записать число в тригонометрической форме: .

, т.к.

так как наше число во II квадранте. Получаем:

- это аргумент. .

Ответ: .

3)Возведение в степень. При возведении в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на число п, то есть:

формула Муавра.

Пример 2.10. .

Решение: ,

Определение 2.5. Число называется корнем степени ( где - натуральное число, большее или равное двум) из числа , если .

Рассмотрим следующие случаи:

1) Если , тогда и имеет единственное решение.

2) Если можно представить в тригонометрической форме и .

Тогда уравнение примет вид: . Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемым, кратным . То есть, или . Итак, все решения (имеется ровно значений) уравнения , которые могут быть записаны в виде: , где k=0,1,2,…,().