Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число, n- ая степень которого равна z.

, если .

Получим правило извлечения корня n -ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме, пользуясь определением. Итак, пусть . Найдем . Имеем по определению , откуда по формуле Муавра получим . Так модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного , то и . Таким образом, , а .

Итак, .

Пример. Найти . Запишем число в тригонометрической форме . Теперь применим формулу .

Если k= 0, то . Если k= 1, то .

Если k= 2, то . Если k= 3, то .

Заметим, что при извлечении корня третьей степени получили три различных комплексных числа. Справедлива следующая теорема.

Лемма. Существует ровно n различных корней n -ой степени из комплексного числа. Для получения этих значений достаточно применить формулу для вычисления корня при .

Доказательство. Самостоятельно.

Интересным свойством обладают комплексные корни n-ой степени из единицы. Попробуем получить это свойство, рассматривая пример . Запишем единицу в тригонометрической форме и применим формулу для вычисления корней:

. Получим шесть различных значений. Изобразим их на комплексной плоскости.

Итак, полученные значения оказались вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность, причем одна из вершин – в точке (1,0).

Это утверждение можно обобщить. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Определение. Корень n -ой степени из единицы называется первообразным корнем, если все корни представимы в виде его степени.