Фиксируем в пространстве т.и рассматриваем произвольную точку
. Радиусом-вектором т.
по отношению к точке
называется вектор
. Если в пространстве кроме точки
выбран некоторый базис, то точке
можно сопоставить упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.
Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.
Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая – ось абсцисс, вторая – ось ординат, третья – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве
. На каждой из осей выберем единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси: векторы
, причем
. Эти три взаимно-перпендикулярных вектора называются ортами. Так как эти орты некомпланарны, то они образуют базис, называемый декартовым ортогональным. Рассмотрим некоторый вектор
в пространстве, переместим его в точку
, то есть построим
. Проведя через конец вектора
плоскости, параллельные координатным осям, получим параллелепипед.
, где
;
.
Векторы – составляющие вектора
по осям
,
,
.
,
,
.
Обозначим проекции вектора на оси
,
,
–
.
Тогда, разложение вектора по ортогональному базису будет таким: .
Это разложение вектора на составляющие по координатным осям. Если проекции вектора на оси координат равны
, то можно записать:
. Это прямоугольные декартовы координаты.
Линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями:
,
.
Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор составляет с осями координат.
Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора :
, то есть
;
, то есть
;
, то есть
.
Вектор – диагональ параллелепипеда, а зная теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда:
и
; получим
.
Условия коллинеарности двух векторов
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны: .
Деление отрезка в данном отношении.
Отношение, в котором точка М делит отрезок М1М2, называется число , удовлетворяющее равенству
. Связь между координатами делящей точки М(x,y,z), точек M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и числом
задается равенствами:
Деление отрезка M1M2, будет внутренним, если >0, и внешним
<0. При
=1 точка М будет серединой отрезка M1M2.
≠ -1.