Пересечение прямой с поверхностью

Возможны три варианта расположения прямой относительно поверхности. Прямая может:

1) пересекать поверхность;

2) касаться поверхности;

3) не пересекать поверхность.

Частные случаи:

Пример 1. Пересекаются прямая общего положения l с проецируюей поверхностью F.

Если задана проецирующая поверхность, то одна из проекций искомых точек пересечения определяется сразу, исходя из принадлежности их этой проецирующей поверхности.

В данном примере призма является горизонтально-проецирующей поверхностью, следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения лежат на пересечении горизонтальной проекции прямой l и горизонтального очерка призмы.

.

Рис. 6.10

Вторая проекция точек определяется исходя из принадлежности их непроецирующей прямой l.

.

Пример 2. Пересекаются проецирующая прямая i с поверхностью конуса F.

Рис. 6.11

В этом случае одна из проекций искомой точки также изначально определена на чертеже. Она совпадает с вырожденной проекцией прямой.

.

Вторая проекция точки определяется из условия принадлежности ее образующей поверхности.

.

Общий случай:

Пересекаются непроецирующая поверхность и прямая общего положения.

В этом случае, чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо:

1) Заключить прямую в дополнительную (вспомогательную) плоскость.

2) Построить линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью.

3) Определить точки пересечения полученного сечения с заданной прямой.

Эти точки являются искомыми.

В качестве вспомогательной плоскости выбирают плоскость общего или частного положения, дающую наиболее простую линию сечения поверхности (ломаную или окружность).

Пример: Построить точки пересечения прямой l с трехгранной пирамидой SABC. Определить видимость прямой относительно поверхности.

Рис. 6.12

Видимость прямой определяется по принадлежности точек пересечения граням пирамиды. Видима та часть прямой, которая исходит из точки, лежащей на видимой грани многогранника.

Пример: Построить точки пересечения прямой l с конусом.

В данном примере в качестве дополнительной плоскости выбирается плоскость общего положения, проходящая через вершину конуса и пересекающая его боковую поверхность по образующим.

Видимость прямой определяется по принадлежности точек пересечения той или иной образующей. Видна та часть прямой, которая исходит из точки, принадлежащей видимой образующей.

Рис. 6.13