Замечание 1. При выполнении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Если эти решения не входят в общее решение ни при каких числовых значениях произвольной постоянной, то они представляют собой особые решения.
Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения, то есть особые решения.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение:
1. Вынесем общие множители за скобки .
2. Разделим обе части уравнения на : .
3. Проинтегрируем обе части:
- общий интеграл.
4. Здесь уравнение имеет вид . Его решения , являются решениями данного дифференциального уравнения (можно проверить подстановкой в уравнение), но не входят в общий интеграл (так как по определению логарифма ). Следовательно решения , являются особыми.
Замечание 2. Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.
Пример 4. Решить уравнение , удовлетворяющее условию .
|
|
Решение:
1. Так как , то или .
2. Проинтегрируем обе части уравнения при получим - общее решение.
3. Найдем частное решение при : - частное решение.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:
, (1)
где - некоторая функция одной переменной.
Например, уравнение однородное.
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство:
. (2)
Пример 1. Выяснить, являются ли однородными следующие функции:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) Так как , то данная функция является однородной степени 2.
б) Так как , то данная функция является однородной степени 0.
в) Так как ни при каком значении , то данная функция не является однородной.
Если функция является однородной степени 0, то уравнение может быть сведено к однородному.
Рассмотрим способ решения дифференциального уравнения (1).
Однородное уравнение (1) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки
или ,
при этом называется вспомогательной функцией.
Действительно, так как , то по правилу дифференцирования произведения получим: , поэтому уравнение (1) приобретает следующий вид , откуда получим
(3)
Пример 2. Решить уравнение .
Решение:
1. Так как , то .
2. Положим , тогда .
3. Так как , то .
4. Проинтегрировав обе части получим если обозначить , то .
5. Возвращаемся к старой переменной - общее решение.