double arrow

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


Замечание 1. При выполнении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Если эти решения не входят в общее решение ни при каких числовых значениях произвольной постоянной , то они представляют собой особые решения.

Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения, то есть особые решения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

1. Вынесем общие множители за скобки .

2. Разделим обе части уравнения на : .

3. Проинтегрируем обе части:

- общий интеграл.

4. Здесь уравнение имеет вид . Его решения , являются решениями данного дифференциального уравнения (можно проверить подстановкой в уравнение), но не входят в общий интеграл (так как по определению логарифма ). Следовательно решения , являются особыми.

Замечание 2. Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

Пример 4. Решить уравнение , удовлетворяющее условию .

Решение:

1. Так как , то или .

2. Проинтегрируем обе части уравнения при получим - общее решение.

3. Найдем частное решение при : - частное решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:

, (1)

где - некоторая функция одной переменной.

Например, уравнение однородное.

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство:

. (2)

Пример 1. Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Так как , то данная функция является однородной степени 2.

б) Так как , то данная функция является однородной степени 0.

в) Так как ни при каком значении , то данная функция не является однородной.

Если функция является однородной степени 0, то уравнение может быть сведено к однородному.

Рассмотрим способ решения дифференциального уравнения (1).

Однородное уравнение (1) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки

или ,

при этом называется вспомогательной функцией.

Действительно, так как , то по правилу дифференцирования произведения получим: , поэтому уравнение (1) приобретает следующий вид , откуда получим

(3)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

1. Так как , то .

2. Положим , тогда .

3. Так как , то .

4. Проинтегрировав обе части получим если обозначить , то .

5. Возвращаемся к старой переменной - общее решение.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: