Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

, (1)

где и – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Особенность дифференциального уравнения (1) состоит в том, что искомая функция и производная входят в уравнение в некоторой степени, не перемножаясь между собой.

Одним из возможных способов решения линейного уравнения (1) является метод Бернулли.

Метод Бернулли. Решение уравнения (1) ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки , где и – неизвестные функции от переменной , причем одна из них произвольна (но не равна нулю). Тогда по правилу дифференцирования произведения . Подставив и в уравнение (1), получим

или

. (2)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение . Получим . Интегрируя почленно получим: .

Ввиду свободы выбора функции , можно принять . Тогда так как .

Подставляя найденную функцию в уравнение получаем .

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: .

Возвращаясь к переменной , получаем:

- решение исходного уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение .

Решение:

1. Полагаем . Тогда .

2. Подставим в уравнение . Сгруппируем относительно : .

3. Приравняем скобку к нулю и найдем , то есть .

4. Теперь решаем уравнение или . Так как , то . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: .

5. Найдем второй интеграл отдельно методом подстановки:

6. Таким образом, общее решение исходного уравнения примет вид: , то есть .

Иногда в качестве независимой переменной удобнее выбрать переменную , а в качестве зависимой переменную .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

1. Будем считать независимой переменной, а зависимой, тогда с учетом того, что и получим уравнение, которое можно привести к линейному .

2. Пусть , тогда . Подставим в последнее уравнение . Сгруппируем слагаемые с и вынесем за скобки .

3. Найдем , для чего приравняем скобку к нулю .

4. Найдем : . Проинтегрируем обе части: . Вычислим первый интеграл в правой части отдельно интегрированием по частям:

. Подставим найденное значение в уравнение: .

5. С учетом того, что получим - общее решение.

Для решения линейных дифференциальных уравнений применяется так же метод вариации произвольных постоянных или метод Лагранжа.

Метод Лагранжа. Общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти при помощи общего решения соответствующего однородного уравнения, то есть

. (3)

Уравнение (3) с разделяющимися переменными:

. (4)

Для решения исходного уравнения (1) полагаем в (4), что является некоторой функцией от переменной , то есть . Для нахождения функции подставляем это значение в уравнение (1):