Значение теоремы для практики

Сущность теоремы Чебышева

Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от их математических ожиданий(средних), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу- среднему арифметическому математических ожиданий.

Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно достаточно большого числа независимых случайных величин(дисперсии которых ограничены), т.е. ограничены рассеяния случайных величин) утрачивает характер случайной величины (т.к. можно предвидеть, какое значение примет среднее арифметическое).

Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева является ярким примером, подтверждающим учение диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение.

Так, на ней основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.

Например:1) оценивает качество данной массы зерна по сравнительно небольшой пробе (проба содержит все же достаточно много зерен, чтобы проявлялось действие закона больших чисел);

2) о качестве кипы хлопка заключают по большому пучку хлопка, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Если случайная величина x представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то x имеет распределение близкое к нормальному.

Задача.

Для определения средней урожайности колхозного поля S =2000га взято на выборку по 1м² с каждого га. По каждому га поля дисперсия не превышает 10, вычислить вероятность того, что отклонение средней выборки урожайности от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

n = 2000га

с = 10