Для центральной и предельной теоремы и для решения ряда других задач теории вероятности весьма удобным оказался метод характеристических функций, разработанный А.М. Ляпуновым.
Характеристической функцией случайной величины x называется математическое ожидание величины eiux:
где u - действительный параметр; i - мнимая единица.
а)Для непрерывной случайной величины характеристическая функция совпадает с преобразованием Фурье от плотности распределения вероятностей P (x):
;
Отсюда сразу следует оценка характеристической функции
, т.е. .
б)Для дискретной случайной величины
.
Рассмотрим некоторые свойства характеристических функций
I. Характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятностей случайной величины.
Другими словами две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то они имеют также и одинаковые распределения.
II. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство: Независимость случайных величин x и y влечет за собой независимость величин eiux и eiuy, поэтому , т.е.:
Таким образом, при изучении сумм независимых случайных величин проще оперировать с характеристическими функциями (которые при этом перемножаются), чем с плотностями (которые свертываются).
Конечно, переход к характеристическим функциям и обратно требует умения оперировать с преобразованиями Фурье (существуют таблицы преобразований Фурье).
III. При умножении случайной величины x на число C характеристическая функция преобразуется следующим образом:
Если случайная величина x имеет всюду непрерывную плотность распределения P (x), то эта плотность может быть выражена через характеристическую функцию с помощью обратного преобразования Фурье: