Характеристические функции и их свойства

Для центральной и предельной теоремы и для решения ряда других задач теории вероятности весьма удобным оказался метод характеристических функций, разработанный А.М. Ляпуновым.

Характеристической функцией случайной величины x называется математическое ожидание величины e^iux:

где u - действительный параметр; i - мнимая единица.

а)Для непрерывной случайной величины характеристическая функция совпадает с преобразованием Фурье от плотности распределения вероятностей P (x):

;

Отсюда сразу следует оценка характеристической функции

, т.е. .

б)Для дискретной случайной величины

.

Рассмотрим некоторые свойства характеристических функций

I. Характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятностей случайной величины.

Другими словами две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то они имеют также и одинаковые распределения.

II. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Доказательство: Независимость случайных величин x и y влечет за собой независимость величин e^iux и e^iuy, поэтому , т.е.:

Таким образом, при изучении сумм независимых случайных величин проще оперировать с характеристическими функциями (которые при этом перемножаются), чем с плотностями (которые свертываются).

Конечно, переход к характеристическим функциям и обратно требует умения оперировать с преобразованиями Фурье (существуют таблицы преобразований Фурье).

III. При умножении случайной величины x на число C характеристическая функция преобразуется следующим образом:

Если случайная величина x имеет всюду непрерывную плотность распределения P (x), то эта плотность может быть выражена через характеристическую функцию с помощью обратного преобразования Фурье: