Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли)

Запишем в дифференци­альной форме уравнение энергии (2.5):

(2.37)

Согласно первому закону термодинамики тепло, подводимое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии и работу расширения (деформации), т.е.

(2.38)

Вычитая из уравнения (2.37) равенство (2.38), получим

(2.39)

Подставляя в (2.39) выражение удельного объема (V = 1/ρ), по­лучаем

(2.40)

Это есть механическая форма уравнения энергии, или, что то же, уравнение живых сил для единичной струйки. После интегрирования будем иметь

(2.41)

Выведенное уравнение носит название обобщенного уравне­ния Бернулли. Оно выражает скорость движения в зависимости от давления и плотности газа с учетом производимой газом техни­ческой работы (L), изменения потенциальной энергии g(z₂ — z₁) и работы сил трения (L_тр). В газовой динамике часто поль­зуются упрощенной формой уравнения Бернулли, соответствую­щей режиму, когда отсутствует техническая работа (L = 0), нет гидравлических потерь (L_тр = 0) и запас потенциальной энергии не изменяется (z₂ = z₁). Для этого режима уравнение Бернулли запишется в следующей форме:

(2.42)

Если нельзя пренебречь технической работой, гидравличе­скими потерями и изменением потенциальной энергии, то обоб­щенное уравнение Бернулли для 1 кг несжимаемой жидкости имеет такой вид:

(2.43)

Предположим теперь, что состояние газа изменяется по идеаль­ной адиабате, т.е.

(2.44)

и рассмотрим случай идеального торможения газовой струи. Определим давление p₂=p*, которое получится, если скорость течения изоэнтропическим путем уменьшится от w₁=w (при этом p₁=p, ρ₁= ρ) до w₂ = 0. Уравнение Бернулли в этом случае дает

(2.45)

Откуда

Используя выражение (2.26), связывающее скорость звука с пара­метрами состояния газа, получим формулу для вычисления давления в идеально затор­моженной газовой струе, в функции давления (р) и числа М перед торможением

(2.46)

Величина р* носит название полного давления. Как и темпера­тура торможения, полное давление является удобной характе­ристикой газового потока, так как оно связывает сразу два фактора: скорость и давление в потоке; последнее обычно называют статическим давлением. Итак, отношение полного давления к статическому есть функция числа М.

Учитывая (2.44) получаем формулу для вычисления плотности в идеально заторможенной газовой струе

(2.47)

С помощью функции (2.32), связывающей температуру торможе­ния с приведенной скоростью, учитывая, что для идеальной адиабаты справедливо равенство

находим за­висимость полного давления от приведенной скорости

(2.48)

Для плотности идеально заторможенного газа соответственно получим

(2.49)

Если на участке струи 1-2 наблюдаются потери, то это обязательно приводит к тому, что полное давление в сечении 2 будет ниже, чем в сечении 1. Количественная оценка потери полного давления выполняется с помощью безразмерной величины, носящей название коэффициента сохранения полного давления

(2.50)

Очевидно, что чем больше потери, тем ниже значение коэффициента сохра­нения полного давления и меньше полное давление в конце рас­сматриваемого участка струи:

(2.51)