Уравнение количества движения

Согласно второму закону Ньютона элементарное изменение количества движения равно элементарному импульсу силы:

(2.52)

Здесь Р — сумма проекций на какую-либо ось всех сил, приложенных к телу массы т, w — проекция скорости на ту же ось, dτ — время действия силы Р.

Применительно к потокам жидкостей и газов более удобна несколько иная (гидродинамическая) форма уравнения для ко­личества движения, которую получил впервые Эйлер. Выделим элементарную струйку (см. рис. 2.1) и проведем два нормальных к ее оси сечения 1 и 2. Разобьем всю массу жидкости, заключенную в объеме 1 — 2, на большое число ча­стей так, чтобы в пределах каждой из них, имеющей массу т, скорость движения w можно было считать постоянной, и уста­новим связь между проекциями сил и количества движения на ось х. Согласно уравнению (2.52) сумма проекций импульсов всех сил, приложенных к массе жидкости 1 - 2, равняется изменению проекции суммарного количества движения

(2.53)

Рассмотрим изменение суммарного количества движения,за время dτ, в течение которого выделенная масса жидкости переместится из положения 1 - 2 в положение 1’ — 2’. Прирост сум­марного количества движения дол­жен быть равен разности количе­ства движения, взятого соответст­венно для масс 2 — 2' и 1 — 1', ко­торые в установившемся движении одинаковы:

Здесь dG — масса жидкости элемен­та 1 — 1’ (или 2 — 2'), w_x2, w_x1 — проекции на ось х скорости потока в сечениях 2 и 1. Элементарная масса dm равна произведение секундного массового расхода жидкости на промежуток вре­мени dτ:

Отсюда

Подставляя полученное выражение в исходное равенство (2.53), приходим к уравнению количества движения в гидродина­мической форме (первому уравнению Эйлера), согласно кото­рому сумма проекций всех сил, приложенных к струе жидкости на любом ее участке, равна приращению проекции секундного количества движения на этом участке, или произве­дению секундной массы на приращение проекции скорости:

(2.54)

Аналогичные уравнения можно составить и для двух других осей.

Применим уравнение количества движения к прямолинейной струйке постоянного сечения F. Проведем торцовые части кон­трольной поверхности нормально к направлению потока, причем пусть образующая боковой поверхности струйки параллельна оси х. Составим уравнение количества движения в направлении потока. На контрольную поверхность действуют силы давления, нормальные к ней. Поэтому проекции на ось х сил давления, приложенных к боковой поверхности, равны нулю. Изменение давления на участке между торцовыми сечениями струйки про­порционально силе, действующей на выбранный элемент жидко­сти. Эта сила, параллельная оси х, равна (p₁ —p₂)F. К боковой поверхности приложена сила трения, направленная параллельно потоку, против него: — Р_тр. Кроме того, между торцовыми сече­ниями струйки может находиться какая-либо машина, получаю­щая от газа техническую работу. Пусть проекция на направле­ние движения силы, с которой действует машина на газ, рав­на — Р. Итак, сумма проекций всех сил на ось х равна

По уравнению количества движения эта сила должна быть равна изменению количества движения:

(2.55)

Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало, то уравнение количества движения нужно записать в дифференци­альной форме:

Умножив все члены этого уравнения на скорость движения и разделив на массовый расход газа, получим уравнение работы всех сил для цилиндрической струйки, отнесенное к 1 кг газа,

Здесь использовано уравнение расхода в цилиндрической струйке

Нетрудно видеть, что стоящие в правой части члены представ­ляют собой работу сил трения

и техническую работу

Таким образом, уравнение количества движения для цилиндри­ческой струйки газа легко преобразуется в уравнение Бернулли

(2.56)

В дальнейшем уравнение количества движения для цилиндриче­ской струи газа мы будем применять в следующей форме:

(2.57)

При отсутствии трения и силового воздействия газа на какую-либо машину дифференциальное уравнение количества движения приобретает особенно простой вид:

(2.58)

Уравнение (2.58) выражает важное свойство газового потока. При отсутствии внешних сил и сил трения увеличение скорости потока может быть вызвано только уменьшением статического давления, и наоборот, торможение потока в этом случае всегда связано с увеличением давления в нем независимо от изменения осталь­ных параметров газа. В интегральной форме уравнение количе­ства движения для цилиндрической струйки запишется так:

или при условии Р_тр = 0 и Р = 0:

(2.59)

или

(2.60)

Важная особенность уравнения количества движения состоит в том, что с его помощью расчет действующих сил производится только по состоянию потока на контрольной поверхности без проникновения в сущность процессов, происходящих внутри этой контрольной поверхности. Поэтому уравнение количества движения позволяет во многих случаях достаточно точно рас­считать газодинамический процесс, не вникая в его детали.

2.6. Расчет реактивной силы (тяги) (*)

Полет реактивного аппарата осуществляется под действием реактивной силы, или, как ее часто называют, тяги, которую сообщает ему струя выходящих газов. Для нахождения величины реактивной силы Р нет необходимости рассматривать де­тально распределение давления по внутренним и наружным стенкам реактивного аппарата. Реактивную силу можно опре­делить в конечном виде с помощью уравнения количества дви­жения.

Совершая полет, тело производит возмущение в окружаю­щей среде. Всегда можно выделить некоторую, достаточно боль­шую, например цилиндрическую, область, границы которой вы­ходят за пределы возмущенной части потока (рис. 2.3).

Рисунок 2.2. Контур для определения реактивной силы

На боковых границах этой области давление и скорость потока (считаем двигатель неподвижным, а воздух — движущимся со скоростью полета) равны их значениям на бесконечности перед двигателем.

Пусть ось х совпадает с направлением полета и является осью симметрии двигателя; спроектируем на ось х силы, дей­ствующие на двигатель и на поверхность выделенного контура. Так как силы давления в жидкости нормальны к поверхности, то проекции на ось х сил, действующих на боковые поверхности контура, обращаются в нуль. Поэтому уравнение Эйлера (см. (2.55)) запишется так:

Здесь площади, на которые распространяются интегралы, и область интегрирования первого члена правой части бесконечны Сила Р берется со знаком «+» потому, что при выводе формулы (2.55) предполагалось, что машина получает от газа работу, а здесь реактивный двигатель сообщает работу газу, G_B — се­кундная масса воздуха, втекающая в контур через сечение F; G_T — дополнительная секундная масса горючего, которая по­дается в двигатель

Если взять левую торцовую поверхность далеко перед дви­гателем, то давление на ней постоянно и равно атмосферному (р_н), а скорость потока равна скорости полета (w_н) Кроме того, можно допустить, что в поперечном направлении уже на неко­тором конечном расстоянии от поверхности двигателя поток яв­ляется невозмущенным и площадь F, на которую распростра­няются интегралы левой части, считать конечной, точно так же конечной будет и область интегрирования в первом члене пра­вой части. Тогда следует написать

В большом числе случаев возмущение, вызываемое летящим те­лом, настолько незначительно, что в плоскости среза сопла а (вне струи выхлопных газов) давление обтекающего потока мало отличается от давления на бесконечности (р_н). Тогда силы дав­ления на передней и задней торцовых поверхностях контура уравновешиваются везде, кроме участка, соответствующего по­перечному сечению выхлопной струи (F_a). Скорости потока во всех элементарных струйках, кроме проходящих через двига­тель, одинаковы (здесь мы пренебрегаем влиянием трения, вих­ревых и волновых потерь на наружной поверхности двигателя) Следовательно, изменение количества движения получается только в струе, протекающей сквозь двигатель. Тогда уравнение Эйлера принимает следующий вид

откуда получается основная формула для реактивной силы

(2.64)

В этих выражениях w_a — средняя скорость истечения

Следует подчеркнуть, что полученное соотношение справед­ливо только в том случае, если скорость и давление в плоско­сти а (за исключением участка рабочей струи) равны в точно­сти их значениям на бесконечности перед двигателем Кроме того, мы здесь пренебрегаем внешним лобовым сопротивлением двигателя, которое всегда может быть учтено отдельно.

На расчетном режиме работы реактивного двигателя давле­ние в выхлопной струе равно давлению окружающего воздуха (р_а = р_н), в этом случае тяга равна изменению количества движения газа, прошедшего через двигатель

(2.65)

В воздушно реактивных двигателях второй член правой части мал, и им часто пренебрегают (G_T=0,05…0,15G_В), т е принимают для воздушно-реактивных двигателей в расчетном случае

(2.66)

Тяга жидкостного реактивного двигателя, в котором не ис­пользуется атмосферный воздух, определяется для расчетного режима по формуле:

(2.67)

или на нерасчетном режиме

(2.68)

Здесь G_o — секундный массовый расход окислителя.