Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью и гидродинамическим давлением в установившемся потоке.

Выделим массу жидкости Δ m, протекающей через сечение трубки тока Δ ω ₁, расположенное на высоте z ₂ а затем через сечение Δ ω ₂, расположенное на высоте z ₂ (рис. 3.6). Полную энергию массы жидкости Δ m, протекающей через сечение Δ ω ₁, обозначим Е ₁, а через сечение Δ ω ₂ — Е ₂. Согласно закону сохранения полной механической энергии разность Е ₂ – Е ₁ равна работе внешних сил А, перемещающих массу Δ m от сечения Δ ω ₁ к сечению Δ ω ₂:

. (3.22)

На жидкость действуют сила тяжести и силы давления, поэтому

, (3.23)

где A _G — работа силы тяжести, А _Р — работа сил давления.

Работа силы тяжести равна произведению веса жидкости и величины смещения центра тяжести:

, (3.24)

где — объемный расход жидкости.

Работа сил давления при перемещении жидкости за время Δ t в сечениях Δ ω ₁ и Δ ω ₂:

(3.25)

где p ₁, р ₂ — давление жидкости соответственно в сечениях Δ ω ₁ и Δ ω ₂.

Согласно уравнению неразрывности

(3.26)

Рис. 3.6. Схема для вывода уравнения Бернулли

Полные механические энергии E ₁, и Е ₂ складываются из кинетических и потенциальных энергий массы жидкости Δ m:

; (3.27)

+ (3.28)

Используя формулы (3.24) – (3.28) и учитывая, что ρ = Δ m /Δ Q, уравнение (3.22) можно привести к следующему виду:

(3.29)

Уравнение (3.29) носит название уравнения Бернулли [1]. Все члены уравнения Бернулли имеют размерность давления и называются так:

· — динамическое давление;

· р — гидростатическое давление;

· ρgz — весовое давление.

Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью жидкости, гидростатическим давлением р в данной точке, объемным весом жидкости ρg и высотой положения частиц жидкости z над плоскостью сравнения. В виде (3.29) оно выражает постоянство полной механической энергии движущейся идеальной жидкости вдоль трубки тока или вдоль элементарной струйки.

3.4. Геометрический и энергетический смысл
уравнения Бернулли

Разделив в уравнении Бернулли (3.29) все члены на ρg и сделав перестановку членов, приведем его к виду

(3.30)

В этом уравнении все слагаемые имеют линейные размеры и соответственно выражают:

z — геометрическую высоту, или геометрический напор;

p/ (ρg) — пьезометрическую высоту, или пьезометрический напор;

— скоростную высоту, или скоростной (динамический) напор.

Сумму всех трех слагаемых

(3.31)

называют полным, или гидродинамическим, напором.

Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (напоров) — геометрической, пьезометрической и скоростной — вдоль потока остается постоянной. На рис. 3.7 приводится баланс напоров при движении жидкости в напорном трубопроводе.

Рис. 3.7. Баланс напоров при движении идеальной жидкости в напорном трубопроводе

Уравнение Бернулли имеет и энергетический смысл. Разделив каждое слагаемое в уравнении (3.29) на ρ и произведя соответствующую перегруппировку членов, получим

(3.32)

Все члены уравнения (3.32) имеют размерность удельной энергии, Дж/кг, т. е. энергии, отнесенной к 1 кг массы жидкости. Слагаемое gz представляет собой удельную энергию положения рассматриваемого сечения потока жидкости в поле земного тяготения; p / ρ — удельную потенциальную энергию давления; v ²/2 — удельную кинетическую энергию.

Из сравнения (3.31) и (3.32) можно сделать вывод, что полный гидродинамический напор выражает собой отнесенную к единице веса полную удельную энергию жидкости в поперечном сечении элементарной струйки

(3.33)

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении полная удельная энергия частиц идеальной жидкости, составляющих элементарную струйку, сохраняется постоянной по всей длине струйки. Уравнение Бернулли является выражением основного закона физики — закона сохранения механической энергии — применительно к жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, энергия давления и кинетическая энергия. В процессе движения жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, но полная удельная энергия остается постоянной.