2014-01-25
690
Пусть координаты точки заданы как функции времени 
Согласно (3.14) имеем 
.
На основании (3.18) получим
,
но так как 
, 
,
то 
.
Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления
(9.22)
Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам
,
3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть  – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо
| 
Рис. 3.13.
|
точке М этой кривой (рис. 3.13). Возьмем теперь на кривой точку М 1, близкую к точке М, и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через 
. Параллельно перенеся вектор в точку М, проведем плоскость через векторы и приложенные в точке М.
При стремлении точки М 1 к точке М эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.
|
|
|
Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и
| нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 3.14 соприкасающаяся, | 
Рис. 3.14.
|
нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.
Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.
Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.
Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор 
, направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали 
определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами 
, , , образовывали правую систему осей, т.е. 
Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 3.14).
Обозначим через 
величину угла между вектором , проведенным в точке М, и вектором 
, проведенным в точке М 1, близкой к точке М. Этот угол называется углом смежности (рис. 3.15 а).
Рис. 3.15.
|
Кривизной кривой в точке М называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги 
, т.е.
|
|
|
. (3.23)
Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне
. (3.24)
Вектор скорости согласно выражению (3.17) можно представить в виде
.
На основании формулы (3.18) имеем
. (9.25)
Определим величину и направление вектора 
.
Пусть в момент времени 
точка находится в положении М на траектории, а в момент времени 
– в положении М 1. Перенося вектор их в точку М, найдем приращение вектора за промежуток времени 
(рис. 3.15 а)
.
Вектор 
при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3.15 а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 3.15 б). Найдем производную вектора :
.
Вектор 
всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 3.15 а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы и 
(плоскость МАВ). Следовательно, вектор 
лежит в соприкасающейся плоскости, т.к. при 
плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке М.
Дифференцируя тождество 
по 
, получим
,
т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.
Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ (см. рис. 3.15 а) найдем 
или, используя равенства (3.23) и (3.24), получим
.
Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь
.
Значит, 
,
и, следовательно,
, (3.26)
т.к. 
.
Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.
Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны
.
Проекция ускорения на направление
(3.27)
называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль
(3.28)
называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен
. (3.29)
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость 
достигает экстремальных значений.
Если и 
одного знака, то модуль скорости 
точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При 
модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.
