Полярные координаты

Пусть координаты точки заданы как функции времени

Согласно (3.14) имеем .

На основании (3.18) получим

,

но так как , ,

то .

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

(9.22)

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

,

3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения

Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо

Рис. 3.13.

точке М этой кривой (рис. 3.13). Возьмем теперь на кривой точку М ₁, близкую к точке М, и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку М, проведем плоскость через векторы и приложенные в точке М.

При стремлении точки М ₁ к точке М эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и

нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 3.14 соприкасающаяся,

Рис. 3.14.

нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему осей, т.е. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 3.14).

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке М, и вектором , проведенным в точке М ₁, близкой к точке М. Этот угол называется углом смежности (рис. 3.15 а).

Рис. 3.15.

Кривизной кривой в точке М называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.

. (3.23)

Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне

. (3.24)

Вектор скорости согласно выражению (3.17) можно представить в виде

.

На основании формулы (3.18) имеем

. (9.25)

Определим величину и направление вектора .

Пусть в момент времени точка находится в положении М на траектории, а в момент времени – в положении М ₁. Перенося вектор их в точку М, найдем приращение вектора за промежуток времени (рис. 3.15 а)

.

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3.15 а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 3.15 б). Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 3.15 а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т.к. при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке М.

Дифференцируя тождество по , получим

,

т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ (см. рис. 3.15 а) найдем

или, используя равенства (3.23) и (3.24), получим

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

.

Значит, ,

и, следовательно,

, (3.26)

т.к. .

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны

.

Проекция ускорения на направление

(3.27)

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

(3.28)

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен

. (3.29)

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.

Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.