Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая, прямая, проведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.

Поступательное движение твердого тела

Рис. 4.2.

Пусть твердое тело движется поступательно относительно системы координат

(рис. 4.2),

– радиус-вектор точки А,

– радиус-вектор точки В, а

– радиус-вектор, определяющий положение точки В в подвижной системе координат Axyz, жестко связанной с телом (на рис. 4.2 эта система не показана).

Так как рассматриваемое тело абсолютно твердое и его движение поступательное, то вектор при движении тела не меняет модуля и направления.

Из рассмотрения рис. 4.2 следует

. (4.3)

Пусть в момент времени тело занимало положение , а в момент времени – положение (рис. 4.2). Тогда будет вектором перемещения точки А, а – вектором перемещения точки В за промежуток времени .

Во время движения вектор не изменяется, значит, отрезки А ₀ В ₀ и АВ равны и параллельны и, следовательно, фигура А ₀ В ₀ ВА — параллелограмм.

Таким образом,

т.е. при поступательном движении абсолютно твердого тела перемещения всех его точек геометрически равны между собой.

Из равенства (4.3) и условия постоянства вектора также следует, что траектории точек тела, движущегося поступательно, одинаковы и получаются друг из друга параллельным смешением.

Продифференцировав выражение (4.3) по времени, получим

но так как , то и, следовательно,

или .

Дифференцируя полученное соотношение по времени, получим

или ,

т.е. при поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех его точек в каждый момент времени равны между собой.

Таким образом, при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны. Следовательно, поступательное движение твердого тела определяется движением одной точки этого тела, координаты которой должны быть заданы как функции времени, т.е.

, , .

Пользуясь понятием поступательного движения, докажем теорему о сложении скоростей точки, совершающей сложное движение.

Предположим, что точка М движется по отношению к системе координат Axyz, которая жестко связана с телом, перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе координат Ox₁y₁z₁.

Рис. 4.3.

Положение точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 4.3)

, где

– радиус-вектор начала подвижной системы координат,

– радиус-вектор, определяющий положение точки М в подвижной системе координат.

Дифференцируя это равенство по времени, получим

В этом равенстве есть скорость точки относительно неподвижной системы координат, которая называется скоростью точки в сложном движении или абсолютной скоростью и обозначается через .

Первое слагаемое в правой части равенства – скорость точки А. Так как система координат Ахуz движется поступательно, то это одновременно будет скоростью той точки тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Эта скорость называется переносной скоростью точки М и обозначается .

Вектор определен в подвижной системе координат, следовательно,

Так как подвижная система координат перемещается поступательно, то – постоянные векторы и их производные по времени равны нулю, поэтому .

Это равенство определяет скорость точки по отношению к подвижной системе координат и называется относительной скоростью точки М. Обозначим эту скорость через .

Таким образом, имеем

. (4.4)

Полученное равенство выражает теорему о сложении скоростей: скорость точки в сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей.

Рассмотрим движение твердого тела с двумя неподвижными точками А и В (рис. 4.4). Из условия неизменяемости расстояния между любыми точками тела вытекает, что все точки на прямой АВ остаются неподвижными. Прямая АВ называется осью вращения, а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть, что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами на ось вращения.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Направим ось Аz₁ неподвижной системы координат Аx₁y₁z₁ по оси вращения тела. Введем подвижную систему координат Axyz, жестко связанную с телом, ось Az которой так же направим по оси вращения (рис. 4.5). Положение тела будет однозначно определено углом поворота тела

между неподвижной плоскостью x₁Аz₁ и подвижной плоскостью xAz (рис. 4.5). Условимся считать положительным направлением отсчета направление против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oz₁.

Пусть в момент времени угол между неподвижной полуплоскостью x₁Аz₁ и подвижной полуплоскостью хАz равен , а в момент времени равен . Это значит, что за промежуток времени подвижная плоскость, а следовательно, и тело повернулись на угол

Отношение

называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени .

Предел этого отношения при называется угловой скоростью тела в данный момент времени

. (4.5)

Единица измерения угловой скорости в системе СИ есть 1/ с.

Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки

. (4.6)

Из этой формулы следует, что при направление вектора совпадает с направлением вектора k, а при вектор направлен в сторону, противоположную направлению вектора k.

В технике часто при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следующей формуле:

где – число оборотов в минуту.

Предположим, что в момент времени угловая скорость вращения равна , а в момент равна . Величина

называется средним угловым ускорением тела за промежуток времени .

Предел этого отношения при называется угловым ускорением тела в данный момент времени

. (4.7)

Единица измерения углового ускорения – 1/с².

Вектором углового ускорения называется вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, т.е.

. (4.8)

Из формулы (4.8) следует, что вектор , так же как и вектор , направлен вдоль оси вращения. Величины и представляют проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения.

Найдем скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.6). Радиус-вектор произвольной точки М в подвижной системе координат Axyz (, , ) можно представить в виде

. (4.9)

Скорость точки М будет равна

Рис. 4.6.

. (4.10) Поскольку вектор k неподвижен, то k=0. Производные векторов i и jвычислены ранее при рассмотрении движения точки в полярной системе координат. Обозначая

из формул (3.12), (3.13) и (4.5) получим

Тогда формула (4.10) запишется в виде

. (4.11)

Так как векторное произведение

имеет те же проекции на оси х, у и z, что и вектор скорости v, то имеем

, (4.12)

иначе говоря, скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Из формулы (4.12) следует, что

т.е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен же вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону ее движения.

Дифференцируя по времени равенство (4.12), получим

или .

Вектор направленный по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости (рис. 4.7), называется вращательным ускорением точки М тела, т. е.