Сложение вращений вокруг параллельных осей

Из содержания предыдущих параграфов видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы – угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил. Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или скорость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар.

Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сейчас установим, что сложение вращений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.

Рис. 8.6.

Предположим, что тело вращается с угловой скоростью вокруг оси О ₂ z ₂ относительно системы координат О ₂ x ₂ y ₂ z ₂, а последняя вращается с угловой скоростью вокруг оси О ₁ z ₁ относительно системы координат О ₁ x ₁ y ₁ z ₁, причем оси О ₁ z ₁ и О ₂ z ₂ параллельны (рис. 8.6).

Тогда абсолютная скорость любой точки М тела

.

Скорости и точки М расположены в плоскости, перпендикулярной осям О ₁ z ₁ и О ₂ z ₂, следовательно, и абсолютная скорость точки М лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка М произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости x ₁ О ₁ y ₁ мгновенный центр скоростей в случае, когда и направлены в одну сторону (рис. 8.6 а).

Для точки Р, лежащей на прямой O ₁ O ₂, и коллинеарные, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство

или

. (8.11)

Точка Р делит отрезок O ₁ O ₂ внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.

Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть . Скорости и в этом случае имеют противоположные направления в точках на прямой O ₁ O ₂, расположенных вне отрезка O ₁ O ₂ (рис. 8.6 б). Найдем точку Р, в которой эти скорости равны:

или

. (8.12)

Точка Р делит отрезок O ₁ O ₂ внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только .

В каждом из рассмотренных случаев точка Р имеет скорость, равную нулю, т. е.

. (8.13)

Найдем теперь скорость произвольной точки М:

.

Здесь – радиус-вектор точки М относительно мгновенного центра скоростей Р. Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (8.13), получим

, (8.14)

где .

Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.