Теорема о проекции скоростей двух точек плоской фигуры

Вывод: плоское движение твёрдого тела – движение сложное. Приняв точку А за полюс заключаем, что оно состоит из двух простых движений – поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса.

Плоским или плоскопараллельным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все точки его движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Примеры: качение колеса по рельсу, движение шатуна.

Изучение плоского движения твёрдого тела сводится к изучению движения плоской фигуры в её плоскости.

Рассмотрим движение плоской фигуры из положения 1 в положение 2.

Сначала переместим фигуру из положения 1 поступательно так, чтобы точка А заняла положение А₁, а точка В – В^/. Чтобы точка В заняла положение В₁ необходимо повернуть фигуру вокруг А₁ на угол j.

Уравнения движения плоской фигуры.

Пусть плоская фигура движется в своей плоскости относительно неподвижной системы координат OХY.

Примем точку О₁ за полюс.

Положение плоской фигуры будет однозначно определяться положением точки О₁, то есть её координатами и углом j.

Тогда:

x_o1 = f₁(t)

y_o₁ = f₂(t) - уравнения движения плоской фигуры.

j = f₃(t)

Теорема о скорости точки плоской фигуры.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Доказательство: Пусть плоская фигура движется в её плоскости.

Примем точку О за полюс.

Считаем поступательное движение фигуры вместе с полюсом за переносное, а вращательное вокруг полюса за относительное. Тогда скорость точки А

, так как переносное движение поступательное, следовательно, переносные скорости всех точек равны скорости полюса.

на прямую, соединяющую эти точки.

Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны.

Спроецируем на АВ:

Мгновенный центр скоростей.

Точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент равна 0 называется м. ц. с.

Мгновенным центром вращения называется точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент совпал м.ц.с.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью м.ц.с.

Примем точку Р за полюс, тогда:

но

Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры представляет собой вращательную скорость этой точки вокруг м. ц. с.

Найдём их модули: V_A = w ^. AP; V_B = w ^. BP; V_C = w ^. CP.

Скорость любой точки плоской фигуры по модулю равна произведению угловой скорости фигуры на расстояние от этой точки до м. ц. с. Вектор же скорости направлен перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с м. ц. с., в сторону вращения.

Установим зависимость между скоростями точек плоской фигуры:

Скорости точек плоской фигуры в каждый момент времени прямо пропорциональны расстояниям от этих точек до м. ц. с.

Способы отыскания м. ц. с.

V_A > V_B

План скоростей.

Скорости точек тела можно определить графически, построением плана скоростей.

Планом скоростей называется диаграмма, на которой отложены векторы скоростей точек тела от некоторого центра, называемого полюсом, в выбранном масштабе.

Полюсобозначается - р.

Пример: Для заданного положения механизма определить скорости точек, если:

ℓ_OA = 50 мм; ℓ_AB = 200 мм;

ℓ_O_Д = 100 мм; ℓ_ВД= 150 мм

j = 60⁰; w_ОА = 60 с^-1.

V_A = w_OA^. L_OA = 60 ^. 0,05 = 3 м/c;

V_A ^ OA; р - полюс

Масштаб скорости:

где: Ра – отрезок, изображающий вектор ускорения точки А.

План скоростей:

V_Д = 0, т.е. Д совпадает с р

V_B = bp ^. m_V = 40 ^. 0,1 = 4,0 м/c;

V_BA = ab ^. m_V = 12 ^. 0,1 = 1,2 м/c;

План ускорений:

а_Aⁿ = 180 м/c²;

Определение ускорений точек тела.

При плоском движении точки тела движутся поступательно вместе с полюсом и вращательно вокруг полюса, следовательно, ускорение любой точки складывается из ускорений, которые она получает при поступательном движении и во вращательном движении этого тела, то есть:

Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки в её вращательном движении вокруг полюса.