double arrow

Квантовый идеальный газ

Рассмотрим совокупность N невзаимодействующих квантовых частиц (фермионов или бозонов[30]) помещенных в объем V. Квантование энергии в трехмерном случае определяется формулой

.

Из этой формулы можно получить число энергетических состояний в интервале dE.

.

Отсюда получаем функцию плотности числа энергетических состояний

. (116)
Теперь рассмотрим один энергетический уровень, представляя его открытой термодинамической системой (по температуре и числу частиц, большой канонический ансамбль). Большая статистическая сумма уровня

. (117)
Для фермионов Nmax = 1, для бозонов Nmax = ¥. Проведя суммирование, получаем

. (118)
Плюс в формуле соответствует фермионам, минус бозонам.

Большая статистическая сумма всех уровней равна бесконечному произведению статистических сумм.

. (119)
Термодинамика определяется логарифмом статистической суммы.

. (120)
Суммирование можно заменить интегрированием, используя формулу плотности числа состояний

. (121)
Используя формулу (37), получаем

. (122)
Чтобы окончательно получить термическое уравнение квантового газа нужно решить две проблемы. Определить l и вычислить интеграл (122). Величину l определим из условия фиксированного числа частиц. Используя (37), запишем

. (123)
Запишем интегралы (122) и (123) через новую переменную .

. (122¢)
. (123¢)

Здесь тепловая длина волны.

Теперь следует подынтегральные функции (122¢) и (123¢) разложить в ряды по переменной и проинтегрировать первые слагаемые.




Ряд логарифма

. [31]

В формуле (122) возникают интегралы

.

Вычислим один из интегралов

.

Перейдем к новой переменной .

.

Теперь можно записать результат интегрирования (122¢)

. (124)
Ряд подынтегральной функции (123¢)

.

.

В формуле (123¢) возникают интегралы аналогичные предыдущим

.

Можно записать результат интегрирования.

. (125)
. (124)
Уравнение (125) относительно l (малой величины) решаем методом последовательных приближений. Пренебрегая величиной второго порядка малости (l2) получаем первое приближение[32]

.

Подставляем l1 в «малое» слагаемое уравнения (125) и получаем l во втором приближении

.

Теперь это значение l подставляем в уравнение (124), при этом в слагаемое второго порядка можно подставить l в первом приближении.

.

После преобразования

.

Окончательно термическое уравнение состояния квантового газа можно представить в виде

. (127)
Плюс соответствует идеальному газу фермионов, минус идеальному газу бозонов. Квантовые поправки становятся существенными при высокой плотности частиц и низкой температуре. Или когда «квантовая тепловая ячейка» становится сравнимой с объемом, приходящимся на одну частицу .








Сейчас читают про: