Идеальный газ во внешнем поле. Химический потенциал. Барометрическая формула

Рассмотрим небольшой объем идеального газа, находящийся в гравитационном поле. Статистический интеграл в этом случае запишется в виде[21]

. (50)
К «кинетической» экспоненте добавляется экспонента «потенциальная». Так как, координату y для всех частиц газа можно считать величиной постоянной, то результат интегрирования получить достаточно просто.

. (51)
Химический потенциал определится формулой

. (52)
Преобразуем первое слагаемое к давлению.

. (53)
Теперь будем рассматривать большой объем газа (высокий сосуд). Известно, что химический потенциал является интенсивным параметром и постоянен по всему пространству сосуда (химический потенциал частиц газа одинаков на разных высотах). Приравниваем химические потенциалы газа на высоте y и y = 0.

. (54)
Получили формулу зависимости «давления атмосферы» от высоты (при постоянной температуре по высоте). Формулу удобнее записывать через молярные величины.

. (55)

9. «Распределение Максвелла». [22](Функция плотности вероятности модуля скорости).

Рассмотрим одну частицу идеального газа. Ее можно считать термодинамической системой помещенной в термостат (выделенной частице предоставлен весь объем идеального газа). Запишем формулу дифференциальной вероятности состояния частицы в фазовом пространстве (канонический ансамбль).

Так как , то

. (56)
Перейдем в пространство скоростей (трехмерное пространство). Для этого нужно проинтегрировать выражение (56) по координатам и «расписать» импульсы.

. (57)
Теперь перейдем в пространство модуля скорости (одномерное пространство). Для этого нужно проинтегрировать по объему шарового слоя пространства скоростей.

. (58)
Отсюда получаем функцию плотности вероятности модуля скорости частиц идеального газа.

. (59)
Приводим листинг среды MathCAD построения графика функции плотности и проверки ее нормировки для воздуха при температурах 200 °К и 300 °К.

Вычислим «характерные» скорости распределения. Скорость, соответствующая максимуму распределения

. (60)
Среднее значение модуля скорости

. (61)
Среднеквадратичное значение скорости.

. (62)
Примеры значений характерных скоростей показаны на вышеприведенном листинге MathCAD.

10. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (Л.Д. Ландау).

Рассмотрим классическую систему с n степенями свободы. В большинстве случаях энергия такой системы может быть записана в квадратичном виде (в обобщенных координатах и скоростях)[23].

. (63)
Общее число термодинамических степеней свободы равно сумме кинетических и потенциальных степеней свободы

Статистический интеграл системы в термостате принимает вид (в константе С «спрятаны» и квантовая ячейка и факториал)

. (64)
Сделаем преобразование координат (b_i, _j не путать с )

. (65)
После преобразования

. (66)
интеграл перестал зависеть от температуры. Пределы интегрирования можно считать остались прежними (бесконечными). Поэтому, зависимость статистического интеграла от температуры можно записать в виде

. (67)
Где А – функция независящая от температуры. Используя полученную формулу (67) вычислим энергию системы.

Мы видим, что энергия системы линейно зависит от числа степеней свободы и на одну степень свободы приходится энергия равная .

Для N – частичной системы без взаимодействия (идеальный газ) число степеней свободы можно представить так

Где i – число степеней свободы одной частицы. Таким образом, энергия идеального газа

. (68)
Для моля .

Определим «стандартные» мольные теплоемкости идеального газа (C _v и C _p). Запишем первый закон термодинамики для идеального газа с учетом формулы (68)