Конденсация Бозе-Эйнштейна. Идеальный газ бозонов при низкой температуре

Рассмотрим идеальный газ бозонов при низкой температуре. Статистическая сумма одного бозонного уровня

. (118)
Определим среднее число частиц на этом уровне

. (128)
Общее число частиц на всех уровнях

. (129)
Определим число частиц на низшем энергетическом уровне (E_i = 0).

. (130)
Очевидно, что если величина l близка к 1 (и l > 1, чтобы N было положительным), то происходит «конденсация» частиц на нижний уровень (). Вычислим сумму (129) перейдя к интегрированию, используя энергетическую функцию распределения

. (116)
При этом вклад нулевого уровня следует учесть отдельно, иначе он «теряется» из-за нулевой вероятности этого уровня в соответствии с формулой (116).

. (131)
Этот интеграл уже вычислялся

. (125)
Поэтому (131) можно записать в виде

. (132)
Заметим, что значение ряда возрастает с ростом l, и при l = 1 сумма ряда равна 2, 612.

Введем температуру T₀ с помощью соотношения

. (133)
Температура T₀ соответствует состоянию, при котором на нижнем уровне нет частиц (полное «испарение»). Делим (132) на (133)

Если считать функцию G «слабой» функцией l, то приближенно можно записать

. (134)
. (135)
Здесь n₁ – плотность числа частиц в возбужденных состояниях.

При 0 К все бозоны находятся на нижнем энергетическом уровне. С повышением температуры плотность числа частиц на нижнем уровне падает по закону степени 3/2. При Т = Т ₀ на нижнем уровне нет частиц (полное «испарение»).[33]

d Задача. Вычислить температуру T₀ для гелия.

Экспериментальное значение температуры перехода между низкотемпературной фазой (He II), обнаруживающей сверхтекучесть, и высокотемпературной фазой (He I), которая ведет себя как нормальная жидкость, равна 2,17 К.