Функция плотности вероятности для идеального газа (канонический ансамбль, отсутствие внешнего поля). Термодинамика идеального газа

С учетом формул (24) и (41) можно записать дифференциальную вероятность для идеального газа, состоящего из N частиц.

. (42)

- статистический интеграл. Вычислим этот интеграл.[19]

.

Последний интеграл есть интеграл Гаусса

. Используем этот результат.

.

Результат для Z записывается простой формулой.

. (43)
Здесь мы ввели «тепловую квантовую ячейку»

. (44)
Величина называется тепловой длиной волны[20]. Ее куб определяет объем тепловой ячейки.

Сделаем общее замечание относительно формулы (43). Ее смысл становится понятным, если ее записать в следующей форме

.

Величина (с учетом сноски 16) есть «эффективный объем» фазового пространства одной частицы для одной координаты (L – длина стороны куба – объема газа). Деление «эффективного объема» на квантовую ячейку h дает эффективное число состояний для одной степени свободы системы. Так как все степени свободы независимы, то общее число состояний всей системы равно произведению числа состояний (возведение в степень). Деление на N! уменьшает число состояний с учетом тождественности частиц. Таким образом, статистический интеграл есть эффективное число термодинамических состояний системы, которое зависит от параметров состояния (T, N, V).

Формула (43) определяет всю термодинамику идеального газа. Используя формулы (23), (25), (26) получаем

. (45)
. (46)
. (47)
. (48)
. (49)