Центр тяжести

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ.

Центром тяжести тела называют центр системы параллельных сил. которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц.

Радиус-вектор центра тяжести тела вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил по формуле:

(1)

где - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; - сила тяжести элементарной частицы; , - сила тяжести всего тела; n-число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.

Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до бесконечности, то после замены дифференциалом dP, а суммы - интегралом получим:

(1’)

где - радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1’) получаем:

, , ,

, ,

где ,,- координаты центра тяжести: ,, - координаты точки приложения силы тяжести Используя понятие центр тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела можно выразить через их массы . и М и ускорение силы тяжести g с помощью формул

Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1^*) после сокращения на g, которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем

(2) И соответственно (1’)

По формулам (2) и (2’) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор которой вычисляется по формулам (2) или (2'). В проекциях на оси координат из (2) и (2') получаем:

, , ,

, ,

где ,,‑ координаты центра масс тела.

Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам

где - объем элементарной частицы тела; и - соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела

где - объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2'), после сокращения на и соответственно получим формулы

по которым определяют центр тяжести объёма тела.

Если тело имеет форму поверхности, т.е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у гонкого листа железа, то имеем

где - удельный вес: - площадь элементарной частицы поверхности; S-площадь всей поверхности. После сокращения на для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам