2018-03-08
555
Все кристаллические многогранники можно разделить на имеющие единичные направления и без них. Соответственно этому и вывод видов симметрии делится на две независимые части. В одной части мы рассмотрим виды симметрии для кристаллов у которых присутствуют единичные направления, в другой для кристаллов ¾ у которых они отсутствуют.
Рассмотрим виды симметрии для кристаллов, у которых одна ли несколько осей симметрии совпадают соответственно с одной или с несколькими единичными направлениями. Для вывода всех возможных видов симметрии подобных кристаллов выберем ось симметрии за основной порождающий элемент симметричных преобразований. Если в кристалле несколько единичных направлений, то выбираем ось симметрии высшего порядка. Последовательно добавляя к этой оси другие элементы, образуем все их возможные сочетания элементов симметрии.
Прежде чем перейти к непосредственному комбинированию элементами симметрии, сделаем следующие пояснения, которые помогут выполнить необходимые выводы видов. Они состоят в следующем. Плоскость симметрии может проходить вдоль единичного направления или нормально к нему, но не может располагаться косо. В противном случае отразившись в наклонной плоскости единичное направление повторилось бы. По этой же причине двойная ось L2 может быть перпендикулярна единичному направлению, но не может составлять с ним косой угол. Другие оси симметрии вообще не могут пересекаться с единичной осью. Центр симметрии С, если он находится на единичном направлении, оставит это направление единичным.
|
|
|
На основании сказанного, в кристаллах с единичными направлениями возможны сочетания, приведенные на рис. 12.
Рис. 12. Возможные сочетания элементов симметрии для кристаллов с единичным направлением: а ¾ полярное единичное направление, б ¾ единичное направление с лежащим центром инверсии, в ¾ единичное направление с продольной плоскостью симметрии, г ¾ единичное направление с нормальной двойной осью симметрии, д ¾ единичное направление с перпендикулярной плоскостью симметрии, е ¾ единичное направление с полным набором элементов симметрии.
Процедура получения новых видов симметрии состоит в следующем.
1. Выбираем единичное направление и совмещаем с ним ось симметрии Ln. Полученный вид симметрии принимаем за исходный.
2. Прибавляем центр симметрии С (Ln + С).
3. Присоединяем к исходному виду плоскость симметрии, перпендикулярную оси П (Ln + П).
4. Прибавляем к исходному виду плоскость симметрии, проходящую вдоль оси Р (Ln + Р).
5. Присоединяем двойную симметрии L2 (Ln + L2).
6. Прибавляем к исходному виду всевозможные элементы симметрии, L2, С, П, Р (Ln + L2+ С +Р + П).
|
|
|
При комбинировании совокупностями элементов симметрии следует принимать во внимание их равнодействие. В результате комбинирования элементами симметрии в соответствие с теоремами 1 ¾ 6 получаются новые, порожденные элементы симметрии.
1. Единичное направление совпадает с единственной осью симметрии n - го порядка (рис. 12, a). В качестве порождающих элементов имеем 5 простых осей симметрии L1, L2, L3, L3, L4 и L6. Других элементов симметрии нет. В результате получаем первые пять видов (классов). Поскольку они содержат только один элемент симметрии то именуются простейшими или примитивными (табл. 2). Здесь мы рассмотрели только прямые оси симметрии, инверсионные ¾ будут обсуждены отдельно.
Таблица 2
| Элемент симметрии | Вид (класс) симметрии | ||
| Порождающий | Порожденный | Международный символ | формула симметрии |
| L1 | ¾ | 1 | L1 |
| L2 | ¾ | 2 | L2 |
| L3 | ¾ | 3 | L3 |
| L4 | ¾ | 4 | L4 |
| L6 | ¾ | 6 | L6 |
2. Центральные виды (классы) симметрии. К единичному направлению добавляется центр инверсии (рис. 12,б). В соответствии с теоремой 2а, одновременное действие центра симметрии и четной оси порождает плоскость симметрии, лежащую перпендикулярно оси (табл. 3). Сочетание L3 + С привело к появлению инверсионной оси Li3. Поэтому вид Li3 обычно относят не к центральным, а к инверсионно - примитивным.
Таблица 3
| Элемент симметрии | Вид (класс) симметрии | ||
| Порождающий | Порожденный по теореме 2а | Международный символ | формула симметрии |
| L1 | ¾ | 1 | L1 |
| L2 | П | 2/m | L2PC |
| L3 | Li3 | 3 | L3 |
| L4 | П | 4/m | L4 PC |
| L6 | П | 6/m | L6 PC |
3. К единичному направлению присоединяем плоскость симметрии П, перпендикулярную оси. Рассматривать этот случай нет необходимости так, как для четных осей, в соответствии с теоремой 2, он повторяет уже полученные виды. Комбинации, для нечетных осей (L1 П = Р, L2П = Li6) будут проанализированы ниже.
4. Планальные (плоскостные) виды (классы) симметрии. Добавляетсяплоскость симметрии, идущая вдоль единичного направления (рис. 12, в). В соответствие с теоремой 4, для каждой оси имеем n таких плоскостей. Получим 5 новых видов симметрии (табл. 4).
Таблица 4
| Элемент симметрии | Класс симметрии | |||
| порождающий | Порожденный по по теореме 4 | Международный символ | Формула симметрии | |
| L1 |
Р вдоль оси | N Плоскостей Вдоль Оси | m | P |
| L2 | Mm2 | L22P | ||
| L3 | 3m | L33P | ||
| L4 | 4mm | L4 4P | ||
| L6 | 6mm | L6 6P | ||
5. Аксиальные (осевые) классы симметрии. К исходному единичному направлению добавляется перпендикулярная ей двойная ось L2 (рис. 12, г). Согласно теореме 3 в результате имеется n таких двойных осей (табл. 5). Из вновь полученных видов L2 повторяет уже выведенный ранее примитивный вид симметрии.
Таблица 5
| Элемент симметрии | Вид (класс) симметрии | |||
| порождающий | Порожденный по по теореме 3 | Международный символ | Формула симметрии | |
| L1 |
L2 ^ исходной оси |
n осей L2 нормально исходной оси | 2 | L2 |
| L2 | 222 | 3L2 | ||
| L3 | 32 | L33 L2 | ||
| L4 | 422 | L4 4 L2 | ||
| L6 | 622 | L6 6 L2 | ||
6. К исходной оси присоединяем различные комбинации элементов симметрии (рис. 12, е). До этого элементы симметрии прибавлялись только по одному. Прибавим одновременно центр инверсии С, плоскость симметрии Р и перпендикулярные оси L2. При прибавлении к пяти исходным осям L1, L2, L3, L4 и L6 центра инверсии С, в соответствие с теоремой 2а, имеем пять совокупностей элементов симметрии L1С, L2 СП, L3С, L4СП и L6СП. Все они идентичны уже полученным центральным видам. Затем к ним добавляем плоскость симметрии Р, идущую вдоль оси. Учитывая действие теорем 4 и 2б получаем следующие комбинации:
L1 + С + Р + L2 = L2 РС;
L2 + С + (П) + (2)Р + (2)L2 = 3L23РС;
L3 + С + + (3)Р + (3)L2 = L33L23РС;
L4 + С + (П) + (4)Р + (4)L2 = L44L25РС;
L6 + С + (П) + (6)Р + (6)L2 = L66L27РС;
|
|
|
В скобках указаны виды или их число, порожденные в соответствии с теоремами о сочетании элементов симметрии.
Таблица 6
| Элемент симметрии | Вид (класс) симметрии | |||
| Порождающий | Порожденный по теореме 2 | Международный символ | Формула симметрии | |
| L1 | С, Р ^ L2, | Р | 2/m | L2PC |
| L2 | ¾ | mmm | 3L23PC | |
| L3 | Р | 3m | L3 3L23PC | |
| L4 | Р | 4/mmm | L4 4L25PC | |
| L6 | Р | 6/mmm | L6 6L27PC | |
Этими видами (табл. 6) возможный набор их комбинаций исчерпывается, необходимость прибавления к полученным совокупностям L2 отпадает, так как мы приходим к уже перечисленным вариантам. По этой же причине нет необходимости рассматривать возможность присоединения к исходному единичному направлению других комбинаций элементов симметрии ¾ нормальной ему L2 и С или Р и L2.
Расшифровка международной символики вида 4/mmm. Будет дана в разделе 1.8.
7. Обратимся к выводу видов симметрии кристаллов, у которых единичное направление совпадает с инверсионной осью. Совмещаем единичное направление с единственной инверсионной осью симметрии n - го порядка Lin. Полученная серия видов получила название инверсионно-примитивных.
Li1 = С, Li2 = Р, Li3 = L3С, Li4 = L2, Li6 = L3 П.
Из анализа полученного ряда следует, что два вида Li1 = С, Li2 = Р совпадают с известными элементами С и Р соответственно, один вид Li3 = L3С уже был выведен ранее и только два последних Li4 = L2 и Li6 = L3 П являются новыми (табл. 7).
Таблица 7
| Элемент симметрии | Вид симметрии | ||
| Порождающий | порожден- ный | Международный символ | формула симметрии |
| Li3 | ¾ | 3 | Li3 = L3С |
| Li4 | ¾ | 4 | Li4 = L2 |
| Li6 | ¾ | 6 | Li6 = L3P |
Класс 6 не пишут как 3/m, потому что его нельзя описать ромбоэдрической решеткой, и его относят к гексагональной сингонии:
8. К исходному единичному направлению, совпадающему с инверсионной осью Li2n, добавляется идущая вдоль него плоскость симметрии. В соответствие с теоремой 6 плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси симметрии Li2n приводит к появлению оси второго порядка L2, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла меду плоскостями. Полученные виды называются инверсионно-планальными.
|
|
|
Таблица 8
| Элемент симметрии | Класс симметрии | |||
| Порождающий | Порожденный по теореме 6 | Международный символ | формула симметрии | |
| Li3 | Р вдоль оси | ¾ | 3m | L3 3L23PC |
| Li4 | L2 | 42m | Li4 2L22P | |
| Li6 | L2 | 6m2 | Li63L23Р= L33L24Р | |
Таким образом, для кристаллов с единичными направлениями получилось в сумме всего 27 видов симметрии.
