2018-03-08
345
Переходим к кристаллам, которые не имеют единичных направлений. Это наиболее симметричные из кристаллических многогранников. Их особенностью является набор осей симметрии, идентичный набору, которые характеризует правильные геометрические многогранники. Правильными называются многогранники, каждая грань которых образована равносторонним многоугольником. Существует только 5 правильных многогранников, а именно: тетраэдр (4 грани в виде правильных треугольников), куб (6 квадратных граней), октаэдр (8 треугольных граней), додекаэдр (12 правильных пятиугольников) и икосаэдр (20 правильных треугольников). Они были известны еще в древней Греции под названием «тела Платона». Симметрию правильных многоугольников мы используем для вывода возможных комбинаций элементов симметрии кристаллов, имеющих единичных направлений.
Два правильных многогранника додекаэдр и икосаэдр содержат пятерные оси симметрии, невозможные в кристаллах, и мы исключаем их из нашего обсуждения. Куб и октаэдр обладают одинаковой комбинацией осей симметрии 3L44L36L2. Наиболее простую симметрию, включающую оси 4L33L2 имеет тетраэдр. Этот набор мы используем в качестве исходного для всех выводов видов симметрии кристаллических многогранников без единичных направлений.
|
|
|
1. Совокупность осей тетраэдра 4L3 3L2 принимаем за примитивный вид симметрии кристаллов без единичных направлений.
2. К исходной совокупности 4L3 3L2 добавляем центр инверсии С. В соответствии с теоремой 2а перпендикулярно L2 появляется плоскость симметрии П. В результате имеем центральный вид 4L3 3L23РС.
3.Для получения планального вида вдоль каждой из тройных осей проводим по плоскости плоскость симметрии Р. В соответствии с теоремой 4 имеем по три плоскости вдоль каждой L3, но их общее число снижается поскольку каждая плоскость проходит одновременно через две оси L3. Результирующая комбинация ¾ 4L3 3L26Р.
4. Аксиальный вид получается в результате добавления к четырем тройным осям L3 перпендикулярных к ним двойных осей L2. Как следует из теоремы 3, каждая тройная ось L3 размножает двойные оси L2 в три раза, но каждая из последних одновременно перпендикулярна двум L3. При этом принимаем без доказательств, что 3L2 исходной примитивной комбинации в данном случае переходят в 3L4. Полученная комбинация представляет еще один вид симметрии 3L44L3 3L2.
5. Последний планаксиальный вид: 3L44L3 3L2 9РС, получается в результате добавления к последней комбинации центра инверсии С. Здесь использована теорема 2а.
В результате для кристаллов без единичных направлений получены пять видов симметрии, а именно:
Примитивный 4L33L2
|
|
|
Центральный 4L3 3L23РС
Планальный 4L3 3L26Р
Аксиальный 3L44L3 3L2
Планаксиальный 3L44L3 3L2 9РС
Все эти сочетания приведены в таблице 9:
Таблица 9
| Элемент симметрии | Вид (класс) симметрии | |||
| Порождающий | порожденный | международный символ | формула симметрии | |
| 4L3 3L2 | ¾ | ¾ | 4L3 3L2 | |
| 4L3 3L2 | С | три координатные Р | m3 | 4L33L23PC |
| 4L3 3L2 | Р вдоль L2 | С | m3 | «« |
| Р вдоль L3 | шесть диагональных Р; оси L2 преобразуются в оси L4 | 43m | 3L44L36P | |
| 1 | три координатные Р; шесть диагональных Р; | m3m | 3L44L36L29PC | |
| 432 | m вдоль 4 | 1 | m3m | «« |
| m вдоль 3 | три координатные m; 1 | m3m | «« | |
В международной символике симметрия октаэдра и куба обозначена 432. Обе формы часто наблюдаются на реальных кристаллах алмаза и используются в практической кристаллографии алмаза. Поэтому поясним значение символов вида. На первом месте стоит цифра 4. Она указывает на то, что с осями координат у октаэдра и куба совпадают три оси 4 (3L4). Цифра 3 на второй позиции означает наличие четырех осей 3 (4L3), проходящих через вершины куба или центры граней октаэдра или через вершину и центр противоположной грани. Цифра 2 на третьей позиции означает шесть диагональных осей 2 (6L2), октаэдра или куба.
Окончательно для кубической сингонии получаем пять классов симметрии, которые классифицируются так:
Таблица 10
| Есть плоскости Р | Нет плоскостей Р3L44L36L29PC | |||
| Есть Ось L4 | Нет оси L4 | Есть | Нет | |
| Есть центр инверсии C | Нет центра инверсии C | Есть ось L4 | Нет оси L4 | |
| 3L44L3 3L2 9РС m3m | 4L3 3L23РС m3 | 4L3 3L26Р 43m | 3L44L3 3L2 432 | 4L33L2 23 |
| Планаксиальный вид симметрии | Центральный вид симметрии | Планальный вид симметрии | Аксиальный вид симметрии | Примитивный вид симметрии |
В сумме для кристаллов обладающих единичными направлениями и без них получено всего 32 класса симметрии. 32 совокупности элементов симметрии характеризуют возможные кристаллические многогранники. Сводка всех видов симметрии приведена в таблице 11.
Таблица 11.
32 вида (класса) симметрии
|
Категория | Сингонии | Вид (класс) симметрии | ||||||
| Прими-тивный | Инверсионнопримитивный | Центральный | Аксиальный | Планальный | Инверсионно-планальный | Аксиально-центральный | ||
|
Низшая | Триклинная | 1 | 1 | |||||
| Моноклинная | 2 | m | 2/m | |||||
| Ромбическая | 222 | mm2 | mmm | |||||
|
Средняя | Тригональная | 3 | 3 | 32 | 3m | 3m | ||
| Гексагональная | 6 | 6 | 6/m | 622 | 6mm | 6m2 | 6/mmm | |
| Тетрагональная | 4 | 4 | 4/m | 422 | 4mm | 42m | 4/mmm | |
| Высшая | Кубическая | 23 | m3 | 432 | 43m | m3m | ||
