Международные символы видов симметрии

В международном символе каждого класса пишутся не все, а только основные, так называемые порождающие элементы симметрии, а остальные - “порожденные” элементы симметрии - выводятся на основании теорем о сочетании операций симметрии. Международные символы элементов симметрии даны в таблице 1. Кроме того, в кристаллографии используются следующие международные символы:

nm ¾ ось симметрии n -го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее;

n

m; n/m ¾ ось симметрии n -го порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии;

n2 ¾ ось симметрии n -го порядка и n осей 2-го порядка, ей перпендикулярных;

nm

m; n/mm - ось симметрии n - го порядка и плоскости m, параллельные и перпендикулярные ей.

При пользовании международной символикой чрезвычайно важно соблюдать правила кристаллографической установки и правила записи международных символов. Эти правила приведены в таблице 12.

Таблица 12.

 Правила записи международного символа

вида (класса) симметрии

В международной символике различают “координатные” элементы симметрии, проходящие вдоль координатных осей, и “диагональные” ¾ по биссектрисам углов между ними.

В символе видов (классов) для кристаллов высшей категории цифра 3 на второй позиции условно символизирует четыре оси 3-го порядка, проходящие по биссектрисам координатных углов. Оси симметрии 4 в кубической сингонии всегда совпадают с осями координат. Оси симметрии 2 и плоскости m могут быть координатными или диагональными. Если число осей 2 или плоскостей m равно трем, то это элементы координатные, если их шесть, то они диагональные. Наконец, если их девять, то три из них являются координатными элементами, а шесть - диагональными. В качестве координатных и диагональных элементов симметрии предпочтение отдается плоскостям, а оси симметрии включаются в символ только в случаях, если нет плоскостей.

Например, символ m3 расшифровывается так: четыре оси 3 по биссектрисам координатных углов и три координатные плоскости симметрии (порождающие элементы симметрии); по теореме 1, на пересечениях плоскостей появляются три оси 2, а по теореме 2 - на их пересечении появляется центр (порожденные элементы симметрии). Таким образом, m3 = 3L₂4L₃3PC. Сравним с символом m3 символ 3m; цифра 3, стоящая на первой позиции, означает единственную главную ось симметрии третьего порядка, т.е. принадлежность к тригональной сингонии. Буква m, стоящая вслед за этой цифрой, означает три плоскости симметрии, проходящие вдоль оси. Таким образом, 3m = L₃3P. Видно, что перестановка буквы или цифры в символе с одной позиции на другую полностью меняет смысл символа.

Расшифруем 4/mmm, приведеннный в табл. 6. Более подробно этот символ записывается следующим образом: 4/m2/m2/m. Комбинация 4/m указывает, что имеется единственная четверная ось, параллельная оси Z и плоскость симметрии m, нормальная к ней. Следующая за ней цифра 2 обозначает наличие двойных полярных осей 2 в координатных направлениях X и Y, а буква m ¾ плоскостей симметрии нормальные к двойным осям. И наконец 2/m указывает на присутствие двойных осей 2 в диагональных направлениях и плоскостей m, нормальных к ним. Аналогично в полном виде можно переписать и символ вида 6/mmm ¾ 6/m2/m2/m.

Кроме международной символики, для обозначения классов симметрии применяются символы Шенфлиса и система кристаллографических обозначений, предложенных академиком А.В.Шубниковым.

Простые формы кристаллов

Анализ элементов симметрии различных кристаллов свидетельствует, что нередко совершенно различные на вид многогранники принадлежат к одному и тому же классу симметрии. Ранее мы уже выяснили, что многогранники в виде куба и октаэдра, несмотря на совершенно разную внешнюю форму, обладают одинаковыми элементами симметрии 3L₄4L₃6L₂9РC.  

Можно привести и другие примеры геометрических фигур, которые имеют разную внешнюю форму, но одинаковые наборы элементов симметрии. Подобных примеров, когда одной совокупности элементов симметрии отвечают различные вариации кристаллических многогранников, можно отыскать бесконечное количество.

Отсюда следует, что для полной характеристики внешней морфологии кристаллов недостаточно ограничиваться одними элементами симметрии, а необходимо также принимать во внимание их внешний вид.

По внешнему огранению кристаллы разделяются на две группы. К первой относятся такие кристаллы, которые при своем идеальном развитии состоят из одинаковых и симметрично расположенных граней. Таковы куб, октаэдр, тетраэдры и другие полиэдры. Такого вида многогранники представляют собой простые формы.

Простой формой называется совокупность граней, связанных между собой элементами симметрии, свойственными данному классу симметрии.

Ко второй группе относятся идеальные кристаллы, обладающие различными по очертаниям и величине гранями. Например, “кирпичик” имеет грани трех сортов в виде прямоугольников различного размера, пирамида ограничена гранями двух сортов: треугольными и одной шестиугольной в основании. Грани разной формы, принадлежащие одной геометрической фигуре, называются комбинациями и представляют собой совокупность двух или нескольких простых форм.

Вывод простых форм, присущих тому или иному классу симметрии, основан на размножении плоскости с помощью соответствующей данному классу совокупности операций симметрии. Каждый класс симметрии характеризуется соответствующими ему простыми формами.

Всего существует 47 простых форм кристаллов.