Шкалы на основе предпочтительных чисел

 

Измерительные шкалы, основанные на использовании рядов предпочтительных чисел, обычно являются метрическими шкалами интервалов или абсолютных величин, исчисляемых, например, единицами допусков измеряемых линейных размеров или квалитетами.

Предпочтительными называю числа, наиболее часто используемые в технике, технологии, науке и в других сферах деятельности людей. Предпочтительные числа представляют собой определенное множество взаимосвязанных чисел (ряд чисел), которые обладают систематизирующим свойством, что позволяет их использовать при выборе, назначении и измерении размеров различных величин. Такие математические ряды чисел формально характеризуют различные зависимости и закономерности изменений в реальном мире. Чаще всего математические выражения изменяющихся состояний имеют вид простой (арифметической) линейной или геометрической (нелинейной) прогрессии.

Ряд чисел арифметической прогрессии имеет постоянную разницу между каждыми двумя соседними числами. Ряд чисел геометрической прогрессии характеризуется тем, что произведение или частное любых двух чисел ряда всегда является членом этого ряда. Например: 2×4=8; 8×4=32; 16:2=8; 32:4=8 и т.д. Любой член геометрической прогрессии, возведенный в целую положительную или отрицательную степень, также является членом этой прогрессии: 2²=4; 2³=8; 2⁴=16; ; ;  и т.д. Итак, геометрическая прогрессия – это ряд последовательно возрастающих или убывающих чисел с постоянным отношением между двумя соседними числами. Это отношение называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой . Следовательно, каждый член геометрической прогрессии является произведением предыдущего числа на .

В связи с перечисленными свойствами геометрической прогрессии. Зависимости, определяемые из произведений членной или целых степеней, всегда подчиняются закономерности этого ряда. Например, если ряд будет определять линейные размеры, то площади или объемы, образованные из этих линейных величин, также подчиняются его закономерности.

Так как сейчас везде принята десятичная система счета чисел, начиная с единицы, то наиболее удобными являются геометрические прогрессии, включающие число 1 и имеющие  c n, кратным 10. Международная организация по стандартизации (ISO, или по-русски ИСО) установила (рекомендация Р ИСО 497) четыре основных десятичных ряда предпочтительных чисел с такими знаменателями   :

Ø 1,5849 1,6 – ряд R5;

Ø 1,2589 1,25 – ряд R10;

Ø 1,1220 1,12 – ряд R20;

Ø 1,0593 1,06 – ряд R40.

В отдельных обоснованных случаях допускается использование рядов R80 с 1,03 и R160 с 1,01.

Следует отметить, что установленные ИСО ряды предпочтительных чисел основаны не только на десятичной системе счета, но и на принципе оптимальных соотношений, который реализован, например, в «золотом сечении». Под «золотым сечением» понимают прямоугольник со сторонами a и b, которые соотносятся между собой как:

 

                               (2.4)

или

.                                  (2.5)

 

Равенству (2.4) соответствует выражение . Исходя из этого, еще в XIX веке французский инженер-механик Шарль Ренар предлагал унифицировать диаметры (толщины) тросов для аэростатов и парусного флота по закону геометрической прогрессии, в которой знаменатель был бы равен соотношению «золотого сечения», т.е . Тогда много лет спустя, в середине ХХ века, с целью обеспечения единства в применении геометрической прогрессии при использовании ее при нормировании геометрических параметров технических изделий и их контроля точности, предложение Ш. Ренара было принято и реализовано через требования национальных (государственных) и международных стандартов на продукцию.

Итак, наиболее применяемые ряды предпочтительных чисел, их знаменатели и количество чисел в рядах с интервалом от 1 до 10 приведены в табл. 2.1.

Любой член ряда N_i геометрической прогрессии с первым элементом, равным 1, находится по формуле:

 

N_i= ^i-1,

 

где  - знаменатель прогрессии;

i – номер элемента ряда (i=1,2,…,n);

n – количество элементов (чисел) рассматриваемого ряда.

Таблица 2.1

Предпочтительные знаменатели геометрических прогрессий

Обозначение ряда предпочтительных чисел	Знаменатель  геометрического ряда чисел	Количество чисел в интервале от 1 до 10
R5		5
R10		10
R20		20
R40		40
R80		80

 

Значения предпочтительных чисел рядов R5, R10, R20 и R40 в диапазоне от 1 до 500 мм приведены в табл. 2.2.

 

Таблица 2.2

Основные ряды линейных размеров в интервалах от 1 до 500 мм

Ra5	Ra10	Ra20	Ra40	Ra5	Ra10	Ra20	Ra40	Ra5	Ra10	Ra20	Ra40	Ra5	Ra10	Ra20	Ra40
1,0	1,0	1,0	1,0		5,0	5,0	5,0	25	25	25	25		125	125	125
			1,05				5,3				26				130
		1,1	1,1			5,6	5,6			28	28			140	140
			1,15				6,0				30				150
	1,2	1,2	1,2	6,3	6,3	6,3	6,3		32	32	32	160	160	160	160
			1,3				6,7				34				170
		1,4	1,4			7,1	7,1			36	36			180	180
			1,5				7,5				38				190
1,6	1,6	1,6	1,6		8,0	8,0	8,0	40	40	40	40		200	200	200
			1,7				8,5				42				210
		1,8	1,8			9,0	9,0			45	45			220	220
			1,9				9,5				48				240
	2,0	2,0	2,0	10,0	10,0	10,0	10,0		50	50	50	250	250	250	250
			2,1				10,5				53				260
		2,2	2,2			11	11			56	56			280	280
			2,4				11,5				60				300
2,5	2,5	2,5	2,5		12	12	12	63	63	63	63		320	320	320
			2,6				13				67				340
		2,8	2,8				14			71	71			360	360
			3,0				15				75				380
	3,2	3,2	3,2	16	16	16	16		80	80	80	400	400	400	400
			3,4				17				85				420
		3,6	3,6			18	18			90	90			450	450
			3,8				19				95				480
4,0	4,0	4,0	4,0		20	20	20	100	100	100	100		500	500	500

Ряды предпочтительных чисел используются для установления унифицированных размеров сверл, фрез, разверток, зенкеров и других инструментов, а также размеров и допусков (отклонения) деталей машин, изделий в целом, технических параметров (свойств) продукции, процента дефектности в партиях продукции, величин напряжений электрического тока, номинальных значений длин электромагнитных волн радиовещательных диапазонов и т.д.

Неслучайно поэтому числа номинальных значений радиовещательных диапазонов λ и грузоподъемности железнодорожных цистерн Р имеют сходные величины:

λ →80 м, 63 м, 49 м, 31 м, 25 м, 19 м, 16 м, 12 м, 10 м;

Р →80 т, 63 т, 50 т, 40 т, 32 т, 25 т, 20 т, 16 т, 12 т, 10 т.

Предпочтительные числа геометрических прогрессий используются, в частности, в квалиметрии, для установления величин коэффициентов весомости (значимости) отдельных показателей качества, при градации мер, при делении диапазона на интервалы (формирование шкал измерений) и т.д.

 

 

Следует отметить, что на практике используются не только ряды типа R. Например, в радиотехнике часто применяют установленные Международной электротехнической комиссией (МЭК) предпочтительные числа рядов Е:

Е3 с

Е6 с

Е12  с

Е24  с

Иногда используются так называемые ступенчатые и прерывистые ряды предпочтительных чисел. Ступенчатый ряд – такой параметрический ряд характеристик продукции, который задают вначале одним рядом предпочтительных чисел (например, R5), а по достижении определенного значения параметра переходят к другому ряду (например, R10). Прерывистым рядом предпочтительных чисел называется тот, в котором опускается некоторое количество членов ряда.

Измерение какого-либо параметра, заданного предпочтительным числом, можно осуществлять по шкале с границей по существующим предпочтительным числам. Такую шкалу квалиметрических измерений называют шкалой предпочтительных чисел. Известно, что номинальные линейные размеры (диаметры, длины, глубины, расстояния между осями и т.д.) изделий, их частей, отдельных деталей и соединений в соответствии с требованиями стандартов называются равными предпочтительным числам того или иного ряда R. Эти номинальные размерам являются базовыми, по отношению к которым назначаются допуски разрешенных отклонений. Фактические отклонения должны быть в пределах допусков, и этим оценивается точность изготовленных изделий.

Номинальным размером  называется размер, который служит началом отсчета отклонений и относительно которого определяются предельные размеры.

Отклонением размера  называется алгебраическая разность между действительным (наибольшим или наименьшим) и соответствующим номинальным размером.

Допустимая разность между верхним (наибольшим) и нижним (наименьшим) предельными значениями размеров называется допуском. Допуск – это величина, в пределах которой может колебаться размер детали или другого изделия, сохраняя заданные эксплуатационные характеристики.

Градация допусков осуществлена в виде набора классов или с тепеней точности. Под степенью точности понимается совокупность допусков, соответствующих одному относительному уровню точности для определенного количества номинальных размеров. Степень точности геометрического размера характеризуется величиной точности (выраженного в микрометрах) для заданного номинального размера. Степень точности геометрических размеров, характеризуемая величиной допуска (выраженного в микрометрах), для установленного количества номинальных размеров называется квалитетом и обозначается буквами IT – сокращение от слов ISO Tolerance (англ. «ИСО-допуск»).

Таким образом, под квалитетом понимают совокупность допусков, характеризуемых постоянной относительной точностью для всех номинальных размеров установленного диапазона. Иначе говоря, квалитет – характеристика точности изготовления изделий (например, детали), определяющая соответствующие методы и средства обработки, а также контроля качества обработки. Единой системой допусков и посадок (ЕСДП), основанной на системе допусков ИСО, для размеров от 1 до 10 000 мм установлено 19 квалитетов. Обозначение последовательного ряда квалитетов, в порядке возрастания допуска на номинальный размер, таково: IT01, IT0, IT1, IT2, IT3, …, IT17.

Таким образом, степень точности линейных размеров изделий можно оценивать как по допустимым и действительным отклонениям от номинальных размеров, так и по соответствию квалитетам, т.е. как по шкале абсолютных значений допусков, так и по линейной шкале абсолютных значений квалитетов. При этом номинальный размер и номер квалитета выступает в качестве метрической меры точности или степени точности, с помощью которой опре6деляется уровень соответствия измеряемого размера требуемому размеру.

Градация измерительных шкал допусков имеет вид геометрической прогрессии, а шкала квалитетов является равномерной (шкала арифметической прогрессии).