Квалиметрические шкалы

 

Любое измерение или количественное оценивание чего-либо осуществляется с использованием соответствующих шкал. Шкала – это упорядоченный ряд отметок, соответствующий соотношению последовательных значений измеряемых величин.

Общим для метрологии и квалиметрии является понятие шкалы. Но в метрологии шкала – это часть отсчетного устройства средства измерения. В квалиметрии понятие шкала используется как метод оценивания и сопоставления свойств различных объектов. Для оценки качества продукции используют различные квалиметрические шкалы [2].

В квалиметрии шкала измерений является средством адекватного сопоставления и определения численных значений отдельных свойств и качеств различных объектов. Практически используют пять видов квалиметрических шкал: шкалу наименований, шкалу порядка, шкалу интервалов, шкалу отношений и шкалу абсолютных значений.

 

 

Шкала наименований

 

В тех случаях, когда несколько неизвестных размеров необходимо сопоставить с одним и определить, какие из них равны размеру, выбранному за базу для сравнения, а какие нет, используют шкалу наименований. По шкале наименований классифицируют размеры по признаку эквивалентности, тождества, равенства. Такое измерение является наиболее простым, но наименее информативным. При этом не определяется, какой из неодинаковых размеров больше или меньше размера, принятого за базовый, т.е. порядок возрастания или уменьшения размеров не устанавливается. Измерение заключается только в определении одинаковости (равенства) или отличия (неравенства) того или иного размера от заранее определенного значения. Следовательно, определяющие отношения между измеряемыми размерами таковы: равны или неравны, т.е. в символах = или ≠.

Математическое выражение сущности измерений по шкале наименований можно записать так:

 

P_i=P_j или P_i≠P_j,

где  P_i – размер, с которым сравнивают (базовый размер);

P_j – j-й из сравниваемых размеров (j=1,2,…,n);

n - число сравниваемых размеров.

При сопоставлении и измерении размеров по шкале наименований осуществляется, например, контроль и оценка качества чего-либо по альтернативному принципу: годен – не годен; подходит – не подходит; соответствует – не соответствует и т.п. Так, например, осуществляют калибровку деталей машин и иных изделий на предприятиях – изготовителях продукции при входном контроле, а также в ряде других случаев.

Калибровка – это специальный тип измерений, выполняемый с целью установления отношения между измеряемыми размерами и известным размером калибра. Например, в соответствии с наименованием продукции французское «Шампанское» и «Советское шампанское» дегустаторы дают сопоставительную оценку качества этих вин по их наименованию – по шкале наименований. Таких примеров оценивания качества продукции можно привести много.

 

Шкала порядка

 

Шкала порядка – это последовательный ряд значений, дающий систематизированное представление о простейших соотношениях величин сопоставляемых размеров свойств, признаков или качеств в целом оцениваемых объектов.

При попарном сопоставлении всех измеряемых размеров устанавливают, какой размер больше или меньше другого, какой лучше или хуже другого. Если имеются одинаковые размеры, то это соотношение также устанавливается. Далее установленные соотношения размеров ранжируютс я в порядке возрастания и/или убывания (уменьшения) их величин. Сами величины при этом остаются неопределенными. Полученный в результате ранжирования ряд значений является шкалой порядка возрастающей или убывающей последовательности.

По шкалам порядка значения размеров могут быть классифицированы (оценены) не только по критерию «одинаковы или нет», но и по соотношению, что «больше или меньше» другого или «что лучше, а что хуже» другого.

Математическим выражением соотношений попарно сопоставляемых размеров является:

 

P_i=P_j  или P_i≠P_j или P_i>P_j или P_i<P_j.

 

В результате сопоставления размеров P_i и P_j определяют, какой размер больше или меньше другого, а также какие размеры имеют одинаковые значения, т.е. по шкале порядка определяют следующие соотношения: равно (=), не равно (≠), больше (>), меньше (<).

Примером построения шкал порядка может быть такой. Пусть имеется пять неизвестных по величине размеров: P₁, P_2, P_3, P_4, P_5. При попарном сопоставлении определено, что:

Ø P₁< P₂< P₃< P₄< P₅ – шкала возрастающего порядка;

Ø P₅> P₄> P₃> P₂> P₁ – шкала убывающего порядка.

Порядковый номер местоположения P в ряду порядка называется рангом. Ранг – это некоторая безразмерная количественная характеристика, т.е. численный показатель того, что первоначально было оценено только качественно и представлено в последовательном ряду шкалы порядка.

Если, например, экспертными измерениями получены такие значения оцененных четырех объектов, как отличный, хороший, удовлетворительный и плохой, то эти оценки могут быть обозначены ранговыми числами: отличный -1, хороший – 2, удовлетворительный – 3, плохой – 4. Возможны другой порядок ранжирования и противоположное обозначение оценок. Качественные оценки могут быть обозначены и не натуральным рядом чисел, а пропорционально увеличенными числами, например на порядок, т.е. в 10 раз. Такой ряд численных обозначений положений размеров в их ранжированном ряду также обозначает естественный порядок расположения размеров.

С целью увеличения достоверности и объективности измерений методом ранжирования, часто в шкалу порядка вводятся ранжированные реперные (опорные) точки, с помощью которых определяются ранг или также безразмерный балл измеряемой величины. Такая шкала называется реперной шкалой порядка.

Например, при выпуске продукции часть ее бракуется, при этом, виды брака могут быть разными, но все они едины с позиций контролера. На приведенном ниже рисунке приводятся все возможные типы шкал порядка: эквивалентности, предпочтения, дистанций и отношений.

 

Другой пример, знания учащихся измеряют по реперной шкале порядка, имеющей следующие фиксированные опорные точки, имеющие численные значения, выраженные в баллах: отсутствие знаний – 1 балл, неудовлетворительные знания – 2 балла, удовлетворительные знания – 3 балла, хорошие знания – 4 балла, отличные знания – 5 баллов. Здесь качественные оценки выражаются количественно. Другим примером измерения по реперной шкале порядка является определение землетрясений по двенадцатибалльной международной сейсмической шкале. Реперными точками этой шкалы приняты такие интенсивности и баллы землетрясений, как: незаметное, регулируемое только сейсмическими приборами, - 1 балл; очень слабое – 2 балла; слабое – 3 балла; умеренное – 4 балла; довольно сильное – 5 баллов; сильное – 6 баллов; очень сильное – 7 баллов; разрушительное – 8 баллов; опустошительное – 9 баллов; уничтожающее – 10 баллов; катастрофическое – 11 баллов; сильная катастрофа – 12 баллов.

Измерение твердостей минералов осуществляют с использованием десятибалльной ранжированной шкалы порядка. Реперные точки твердостей: тальк – 1 балл, гипс – 2 балла, кальцит – 3 балла, флюорит – 4 балла, апатит – 5 баллов, ортоклаз – 6 баллов, кварц – 7 баллов, топаз – 8 баллов, корунд – 9 баллов, алмаз – 10 баллов. Перечисленные минералы приняты в качестве эталонных и по отношению к их твердостям оценивается твердость оцениваемого минерала. Если эталон, имеющий твердость n баллов, царапает поверхность исследуемого минерала, а исследуемый образец царапает эталон с твердостью (n-1) баллов, то оцениваемая твердость считается равной (n-1).

С помощью реперных шкал порядка измеряются морские волны, чувствительности фотоматериалов (фотопленок, фотопластин, фотобумаги), температура и некоторые другие величины. Широкое применение шкалы порядка получили при измерениях в социальной сфере, в области интеллектуального труда, в искусстве и гуманитарных науках, где использование точных метрологических методов измерений затруднено или практически невозможно.

По шкале порядка сопоставляют между собой размеры, которые при этом остаются неизвестными. Численная неопределенность размеров в ряду порядка перестает иметь принципиальное значение при последующем математическом приведении разнородных показателей качества к их сопоставимости, т.е при нахождении относительных значений размеров, оцененных по использованной шкале порядка. И действительно, если частное (приведенное) численное значение полученное при деление одного числа на другое, т.е при делении числителя на знаменатель, есть вполне определенная величина, то известная количественная определенность размера числителя (показателя оцениваемого объекта) и знаменателя (показателя эталона) не имеет существенного значения, так же как, например, в равенствах:

 

 и т.д.

 

Недостатком измерений по шкалам порядка можно считать то. Что получаемые результаты в виде ранжированного ряда наименее информативны. В частности, при таком измерении нет возможности определить. На сколько дин размер больше или меньше другого, лучше или хуже другого. Однако главным преимуществом измерений с использованием шкал порядка является то, что с их помощью инструментально неизмеряемые величины все же можно оценить (измерить) количественно. К измеряемым по шкалам порядка относятся такие свойства объектов как вкус, запах, привлекательность, эстетичность, комфортабельность и многие другие. По шкале порядка часто производят и общие экспертные оценки качества нескольких сопоставляемых объектов.

Анализ шкалы порядка позволяет осуществлять некоторые логические выводы. Например, если известно, что Р₁>Р₂, а Р₂>Р₃, то следовательно, и Р₁>Р₃, или если Р₂>Р₃, то Р₁+Р₂>Р₃. Эта возможность выполнения логических операций на основе данных шкалы порядка называется свойством транзитивности.

 

Шкала интервалов

 

Во многих случаях нет возможности измерить сами размеры наблюдаемых величин, но возможно (или есть необходимость) измерить только отличия (разницы) между познаваемыми сопоставлением размерами. При этом используется шкала интервалов.

На измерительной шкале интервалов фиксируются отличия сопоставляемых размеров. Эта форма отображения величин измеряемого является более совершенной, так как на шкале интервалов есть условные, но вполне определенные единицы измерений, что позволяет количественно (численно) охарактеризовать соотношение исследуемых объектов.

Математическая запись сравнения между собой двух однородных размеров по их разнице имеет вид

 

∆P_i,j=P_i – P_j.

 

По шкале интервалов определяют такие соотношения размеров, как: равно (=), не равно (≠), больше (>), меньше (<), сумма (+), разница (-).

Следовательно, здесь определено отношение порядка и эквивалентности не только между размерами характеристик качества, но и между расстояниями между ними на шкале измерений.

Упорядоченные ряды, например, пяти разных размеров по их ∆P могут быть такими:

 

∆P_1,2<∆P_2,5<∆P_3,5<∆P_4,3 или ∆P_4,3>∆P_3,5>∆P_2,5>∆P_1,2.

Графическое построение шкалы интервалов рассматриваемых размеров показано на рис. 2.1.

 

Рис. 2.1. Схема построения шкалы интервалов

 

При таком построении шкалы интервалов, когда не начала отсчета и нет соответствующей физической единицы измерений (меры), за единицу измерений принимается некоторая произвольно выбранная величина.. несмотря на значительную неопределенность измеряемых разновидностей размеров в условных единицах, результаты измерений по шкале интервалов более информативны по сравнению с измерениями по шкале порядка, так как они позволяют не только установить, что один размер больше или меньше другого, но и численно определить, на сколько единиц (мер) отличаются исследуемые размеры один от другого.

С данными, полученными по шкале интервалов, можно производить не только логические, но и арифметические действия, например, складывать и вычитать величины. Однако по шкале интервалов нельзя определить, во сколько раз данный размер больше или меньше другого, так как неизвестными остаются величины сопоставляемых размеров.

Часто при решении измерительной задачи требуется более жесткая «привязка» результатов, получаемых по шкале интервалов к определенному (произвольно выбранному или предпочтительному) размеру. Этот выбранный размер является опорным (базовым), по сравнению с которым определяют отличия других размеров. Отметка базового размера на измерительной шкале (линейной, круговой или цифровой) представляет собой реперную точку. Эта реперная точка, если она одна на шкале интервалов, обычно принимается за начало отсчета.

На рис. 2.2 иллюстрировано построение шкалы интервалов с началом отсчета от размера Р₅. Если принять за базовый размер Р₂, то начало отсчета сместится влево, а если Р₃, то вправо. Следовательно, начало отсчета на шкале интервалов устанавливается произвольно. При этом также произвольно выбирается единица измерений интервалов – их величины на шкале измерений. Часто за единицу измерений принимают наименьший интервал сопоставляемых размеров.

 

Рис. 2.2. Построение шкалы интервалов с нулевой отметкой

 

Примерами шкал интервалов с одной реперной точкой являются календари летоисчислений. В христианском календаре за нулевую точку отсчета принят год рождения Христа («от рождества Христова»).

Зачастую с целью приближения единицы измерений по шкале интервалов к реальности за меру измеряемых интервалов берут долю или некоторую часть какого-либо (предпочтительного) интервала размеров. Для этого на шкале измерений устанавливают две реперные точки Р_р1 и Р_р2, расстояние между которыми выражает разницу двух выбранных размеров. Промежуток между реперными точками градуируется, т.е. делится на равные или (реже) пропорциональные части.

Градация есть установление масштаба на шкале интервалов. То есть одна часть выбранного интервала между двумя базовыми (опорными) размерами принимается за меру – за единицу измерений. Пример двухреперной шкалы интервалов приведен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Шкала интервалов с двумя реперными точками

 

Классическим примером измерений по шкале интервалов с двумя реперными точками является измерение температур по шкале Цельсия. Здесь в качестве опорных размеров взяты температуры замерзания (таяния льда) и кипения чистой воды. Интервал между этими температурами разделен на 100 равных частей. Одна часть, принятая за единицу измерения температур, была названа градусом. Шкала Цельсия неограниченно распространяется за пределы температур 0 100 ^оС при условии, что любые значения температур измеряются единицами, равными интервала температур от замерзания до кипения воды

В интервальной шкале Рюмера для измерения температуры в качестве реперной точки с нулевым значением показателя также принята температура таяния льда, а за интервал масштаба – температура от точки таяния льда до температуры кипения воды. Однако этот интервал масштаба разделен не на 100 частей, как в системе Цельсия, а на 80 градаций (градусов).

Шкала интервалов может иметь несколько реперных точек, но в этом случае возникает проблема согласования единиц измерения размеров в пределах различных интервалов такой многореперной шкалы.

Ввиду неопределенности или условности начала отсчета математические операции умножения и деления результатов измерений, полученных с помощью шкал интервалов, осуществить нельзя. Следовательно, при шкале интервалов нет возможности определить, во сколько раз один размер больше или меньше другого.

 

Шкала отношений

 

Для того, чтобы определить не только на сколько, но и во сколько раз один размер больше или меньше другого или количественно измерить величину размера в официально установленных единицах измерения, необходимо воспользоваться шкалой отношений.

Шкала отношений – это измерительная шкала, на которой отсчитывается (определяется) численное значение величины q_i как математического отношения измеряемого размера p_i к другому известному размеру, принимаемому за единицу измерений [P].

В метрологии и квалиметрии считается, что «любое измерение по шкале отношений предполагает сравнение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении».

Математическая запись измерения по шкале отношений имеет вид:

 

,                                                            (2.1)

 

где i=1,2,…,n – это номер измеряемого объекта.

 

Шкала отношений – это шкала интервалов, в которой определен нулевой элемент – начало отсчета, а также размер (масштаб) единицы измерений [ Р ].

По шкале отношений определяются такие значения измеряемых размеров, как: равно (=), не равно (≠), больше (>), меньше (<), сумма (+), разница размеров (-), умножение (×), деление (:). Следовательно, с относительными величинами измеряемых размеров можно проводить многие логические и все арифметический действия.

Предельный интервал значений q измеряемых размеров по шкале отношений – от нуля до (возможно) бесконечности, поэтому в отличие от шкалы интервалов на шкале отношений нет отрицательных значений. Число q_i, определенное по шкале отношений, соответствует величине  измеряемого размера P_i, выраженного в единичных размерах [ Р ]. Следовательно, измерения по шкале отношений имею вид, показанный на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Схема измерений по шкале отношений

 

Так как со значениями q_i возможны логические и все арифметические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, то шкала отношений является наиболее совершенной и широко применяемой. Однако построение шкалы отношений и измерение с ее помощью не всегда возможно. Например, время измеряется только по шкале интервалов, а вес обычно измеряют по шкале отношений, хотя его можно измерить и по шкале интервалов, так как шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов.

Измерение интервала по шкале отношений осуществляют по формуле (теоретической модели) вида:

 

                                            (2.2)

или

.                                              (2.3)

 

Следует отметить, что численное значение q измеряемой величины может быть различным в зависимости от принятого размера единицы измерения [P]. Так, например, 1 метр длины может быть выражен еще как 100 см, 1000 мм или 0,001 км.

Итак, шкала отношений универсальна, так как по ней можно сформировать ранжированные ряды (шкалы порядка) возрастающих или сокращающихся размеров, вычислить интервалы отличий (как и по шкале интервалов) тех размеров, которые измерены по шкале отношений и, наконец, определить численные значения измеренных размеров в относительных величинах.

Шкала отношений наиболее приемлема для измерений большинства показателей качества, особенно для таких численных характеристик, как геометрические размеры объектов, их плотность, сила, напряжение, частота колебаний и прочих.